Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{2} - 4}{x}$ no está definida.

$x = 0$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{x}$

Paso 5.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x}$

Paso 5.2

Expande $(x + 2) (x - 2)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2)}{x}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}{x}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{x}$

Paso 5.2.4

Reordena $x$ y $- 2$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x}$

Paso 5.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x}$

Paso 5.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x}$

Paso 5.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x}$

Paso 5.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x}$

Paso 5.2.9

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 x - 4}{x}$

Paso 5.2.10

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 4}{x}$

Paso 5.2.11

Resta $4$ de $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{x}$

Paso 5.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Paso 5.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$

Paso 5.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Paso 5.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0$ .

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Paso 5.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Paso 5.8

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$4$

Paso 5.9

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x - \frac{4}{x}$

Paso 5.10

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x$

Paso 7