Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x + 1}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x + 1}$ no está definida.

$x = - 1$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Factoriza $x^{2} + 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 5.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

Paso 5.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{x + 1}$

Paso 5.2

Expande $(x - 2) (x + 4)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 4) - 2 (x + 4)}{x + 1}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 - 2 (x + 4)}{x + 1}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 - 2 x - 2 \cdot 4}{x + 1}$

Paso 5.2.4

Reordena $x$ y $4$ .

$\frac{x \cdot x + 4 x - 2 x - 2 \cdot 4}{x + 1}$

Paso 5.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x + 4 x - 2 x - 2 \cdot 4}{x + 1}$

Paso 5.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x + 4 x - 2 x - 2 \cdot 4}{x + 1}$

Paso 5.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1} + 4 x - 2 x - 2 \cdot 4}{x + 1}$

Paso 5.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2 x - 2 \cdot 4}{x + 1}$

Paso 5.2.9

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2 x - 8}{x + 1}$

Paso 5.2.10

Resta $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x + 1}$

Paso 5.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

Paso 5.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$

Paso 5.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 5.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 5.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$

Paso 5.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	-	$8$

Paso 5.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	-	$8$

Paso 5.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	-	$8$
					+	$x$	+	$1$

Paso 5.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 1$ .

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	-	$8$
					-	$x$	-	$1$

Paso 5.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	-	$8$
					-	$x$	-	$1$
							-	$9$

Paso 5.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x + 1 - \frac{9}{x + 1}$

Paso 5.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x + 1$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 1$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x + 1$

Paso 7