Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ no está definida.

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.1

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + 4 e^{- 2 x}}$

Paso 3.1.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + 4 e^{- 2 x}}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + 4 e^{- 2 x}}$

Paso 3.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 4 e^{- 2 x}}$

Paso 3.1.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$5 \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} 4 e^{- 2 x}}$

Paso 3.1.6

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 \frac{1}{1 + 4 lim_{x \to \infty} e^{- 2 x}}$

Paso 3.2

Como el exponente $- 2 x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- 2 x}$ se acerca a $0$ .

$5 \frac{1}{1 + 4 \cdot 0}$

Paso 3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$5 \frac{1}{1 + 0}$

Paso 3.3.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$5 (\frac{1}{1})$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$5 (\frac{1}{1})$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$5 \cdot 1$

Paso 3.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 4

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 4.1

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{1 + 4 e^{- 2 x}}$

Paso 4.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ se acerca a $0$ .

$5 \cdot 0$

Paso 4.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$0$

Paso 5

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 5, 0$

Paso 6

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

Asíntotas horizontales: $y = 5, 0$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 8