Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ no está definida.

$x = - 5, x = 1$

Paso 2

Como $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 5$ desde la izquierda y $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 5$ desde la derecha, entonces $x = - 5$ es una asíntota vertical.

$x = - 5$

Paso 3

Como $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $1$ desde la izquierda y $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $1$ desde la derecha, entonces $x = 1$ es una asíntota vertical.

$x = 1$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - 5, 1$

Paso 5

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 7

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 8

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 8.1

Factoriza $x^{2} + 4 x - 5$ con el método AC.

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Paso 8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $4$ .

$- 1, 5$

Paso 8.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{5 x^{3} - 4}{(x - 1) (x + 5)}$

Paso 8.2

Expande $(x - 1) (x + 5)$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x (x + 5) - 1 (x + 5)}$

Paso 8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 (x + 5)}$

Paso 8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}$

Paso 8.2.4

Reordena $x$ y $5$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Paso 8.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Paso 8.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Paso 8.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{1 + 1} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Paso 8.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Paso 8.2.9

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 5}$

Paso 8.2.10

Resta $1 x$ de $5 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

Paso 8.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Paso 8.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Paso 8.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

Paso 8.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x^{3} + 20 x^{2} - 25 x$ .

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

Paso 8.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

Paso 8.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

Paso 8.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 20 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$

Paso 8.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							-	$20 x^{2}$	-	$80 x$	+	$100$

Paso 8.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 20 x^{2} - 80 x + 100$ .

$5 x$

$20$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

$20 x^{2}$

$80 x$

$100$

Paso 8.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							+	$20 x^{2}$	+	$80 x$	-	$100$
									+	$105 x$	-	$104$

Paso 8.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$5 x - 20 + \frac{105 x - 104}{x^{2} + 4 x - 5}$

Paso 8.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 5 x - 20$

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 5, 1$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 5 x - 20$

Paso 10