Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{6 x - x^{2}}{5 x - 5}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{6 x - x^{2}}{5 x - 5}$ no está definida.

$x = 1$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Factoriza $x$ de $6 x - x^{2}$ .

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$\frac{x \cdot 6 - x^{2}}{5 x - 5}$

Paso 5.1.1.2

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 6 + x (- x)}{5 x - 5}$

Paso 5.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 6 + x (- x)$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 x - 5}$

Paso 5.1.2

Factoriza $5$ de $5 x - 5$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 (x) - 5}$

Paso 5.1.2.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 (x) + 5 (- 1)}$

Paso 5.1.2.3

Factoriza $5$ de $5 (x) + 5 (- 1)$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 (x - 1)}$

Paso 5.2

Expande $x (6 - x)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 6 + x (- x)}{5 (x - 1)}$

Paso 5.2.2

Reordena $x$ y $6$ .

$\frac{6 \cdot x + x (- x)}{5 (x - 1)}$

Paso 5.2.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{6 \cdot x + x \cdot (- 1 x)}{5 (x - 1)}$

Paso 5.2.4

Reordena $x$ y $- 1$ .

$\frac{6 x - 1 \cdot (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Paso 5.2.5

Multiplica $- 1$ por $x$ .

$\frac{6 x - 1 x \cdot x}{5 (x - 1)}$

Paso 5.2.6

Factoriza el negativo.

$\frac{6 x - (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Paso 5.2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 x - (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Paso 5.2.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 x - (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Paso 5.2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 x - x^{1 + 1}}{5 (x - 1)}$

Paso 5.2.10

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 x - x^{2}}{5 (x - 1)}$

Paso 5.2.11

Reordena $6 x$ y $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 6 x}{5 (x - 1)}$

Paso 5.3

Expande $5 (x - 1)$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 6 x}{5 x + 5 \cdot - 1}$

Paso 5.3.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 6 x}{5 x - 5}$

Paso 5.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$5 x$

$5$

$x^{2}$

$6 x$

$0$

Paso 5.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $5 x$ .

				-	$\frac{x}{5}$
	$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$

Paso 5.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Paso 5.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} + x$ .

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Paso 5.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$

Paso 5.9

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$

Paso 5.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x$ por el término de mayor orden en el divisor $5 x$ .

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$

Paso 5.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$
					+	$5 x$	-	$5$

Paso 5.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x - 5$ .

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$
					-	$5 x$	+	$5$

Paso 5.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$
					-	$5 x$	+	$5$
							+	$5$

Paso 5.14

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$- \frac{x}{5} + 1 + \frac{5}{5 x - 5}$

Paso 5.15

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = - \frac{x}{5} + 1$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 1$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = - \frac{x}{5} + 1$

Paso 7