Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 5 x}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 5 x}$ no está definida.

$x = 0, x = 5$

Paso 2

Como $\frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 5 x}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 5 x}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 3

Como $\frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 5 x}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $5$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 5 x}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $5$ desde la derecha, entonces $x = 5$ es una asíntota vertical.

$x = 5$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = 0, 5$

Paso 5

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 7

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 8

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 8.1

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1.1

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 4^{3}}{x^{2} - 5 x}$

Paso 8.1.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})}{x^{2} - 5 x}$

Paso 8.1.1.3

Simplifica.

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Paso 8.1.1.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 \cdot x + 4^{2})}{x^{2} - 5 x}$

Paso 8.1.1.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{x^{2} - 5 x}$

Paso 8.1.2

Factoriza $x$ de $x^{2} - 5 x$ .

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Paso 8.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{x \cdot x - 5 x}$

Paso 8.1.2.2

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{x \cdot x + x \cdot - 5}$

Paso 8.1.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{x (x - 5)}$

Paso 8.2

Expande $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x^{2} + 4 x + 16) - 4 (x^{2} + 4 x + 16)}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x^{2} + 4 x) + x \cdot 16 - 4 (x^{2} + 4 x + 16)}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot 16 - 4 (x^{2} + 4 x + 16)}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot 16 - 4 (x^{2} + 4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot 16 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (4 x) + x \cdot 16 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.7

Reordena $x$ y $4$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 16 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.8

Reordena $x$ y $16$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 \cdot (x \cdot x) + 16 \cdot x - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.9

Elimina los paréntesis.

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 \cdot (x \cdot x) + 16 \cdot x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.10

Multiplica $4$ por $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 x \cdot x + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 x \cdot x + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 2} + 4 x \cdot x + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.13

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{3} + 4 x \cdot x + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} + 4 (x \cdot x) + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} + 4 (x \cdot x) + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} + 4 x^{1 + 1} + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.17

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.18

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 16 x - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.19

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 16 x - 4 x^{2} - 16 x - 64}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.20

Mueve $16 x$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16 x - 16 x - 64}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.21

Resta $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 16 x - 16 x - 64}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.22

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{x^{3} + 16 x - 16 x - 64}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.23

Resta $16 x$ de $16 x$ .

$\frac{x^{3} + 0 - 64}{x (x - 5)}$

Paso 8.2.24

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{x^{3} - 64}{x (x - 5)}$

Paso 8.3

Expande $x (x - 5)$ .

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Paso 8.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} - 64}{x \cdot x + x \cdot - 5}$

Paso 8.3.2

Reordena $x$ y $- 5$ .

$\frac{x^{3} - 64}{x \cdot x - 5 x}$

Paso 8.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} - 64}{x \cdot x - 5 x}$

Paso 8.3.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} - 64}{x \cdot x - 5 x}$

Paso 8.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} - 64}{x^{1 + 1} - 5 x}$

Paso 8.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 5 x}$

Paso 8.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$64$

Paso 8.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$64$

Paso 8.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

Paso 8.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 5 x^{2} + 0$ .

$x$

$x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

Paso 8.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

Paso 8.9

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

						$x$
$x^{2}$	-	$5 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$64$
					-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$0$
							+	$5 x^{2}$	+	$0$	-	$64$

Paso 8.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

						$x$	+	$5$
$x^{2}$	-	$5 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$64$
					-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$0$
							+	$5 x^{2}$	+	$0$	-	$64$

Paso 8.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$5$

$x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$64$

$5 x^{2}$

$25 x$

$0$

Paso 8.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x^{2} - 25 x + 0$ .

						$x$	+	$5$
$x^{2}$	-	$5 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$64$
					-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$0$
							+	$5 x^{2}$	+	$0$	-	$64$
							-	$5 x^{2}$	+	$25 x$	-	$0$

Paso 8.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$x$	+	$5$
$x^{2}$	-	$5 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$64$
					-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$0$
							+	$5 x^{2}$	+	$0$	-	$64$
							-	$5 x^{2}$	+	$25 x$	-	$0$
									+	$25 x$	-	$64$

Paso 8.14

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x + 5 + \frac{25 x - 64}{x^{2} - 5 x}$

Paso 8.15

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x + 5$

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0, 5$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x + 5$

Paso 10