Precálculo Ejemplos

$y = a {(x - h)}^{2} + k \cdot 4 x^{2} + 8 x - 4$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$ .

$a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$

Paso 2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - 4 = y$

Paso 3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 4

Reescribe ${(x - h)}^{2}$ como $(x - h) (x - h)$ .

$a ((x - h) (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 5

Expande $(x - h) (x - h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a (x (x - h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 6.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 6.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 6.1.4

Multiplica $h$ por $h$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.4.1

Mueve $h$ .

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 6.1.4.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 6.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 6.1.6

Multiplica $h^{2}$ por $1$ .

$a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 6.2

Resta $h x$ de $- x h$ .

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Paso 6.2.1

Mueve $x$ .

$a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 6.2.2

Resta $h x$ de $- h x$ .

$a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 7

Aplica la propiedad distributiva.

$a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Paso 9

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y = 4$

Paso 9.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y - 4 = 0$

Paso 10

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 11

Sustituye los valores $a = a + 4 k$ , $b = - 2 a h + 8$ y $c = a h^{2} - y - 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- (- 2 a h + 8) \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- (- 2 a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 (a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.3

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$x = \frac{2 (a h) - 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.4

Agrega paréntesis.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{{(- 2 (a h) + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.5

Sea $u = (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ .

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Paso 12.5.1

Reescribe ${(- 2 a h + 8)}^{2}$ como $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.5.2

Expande $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 12.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h + 8) + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 12.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.5.3.1.1

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 12.5.3.1.1.1

Mueve $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 (a \cdot a) h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.5.3.1.1.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.5.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ sumando los exponentes.

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Paso 12.5.3.1.2.1

Mueve $h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} (h \cdot h) \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.5.3.1.2.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h^{2} \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.5.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.5.3.1.4

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.5.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 (a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.5.3.1.6

Multiplica $8$ por $8$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.5.3.2

Resta $16 a h$ de $- 16 a h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.6

Factoriza $4$ de $4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u$ .

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Paso 12.6.1

Factoriza $4$ de $4 a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.6.2

Factoriza $4$ de $- 32 a h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.6.3

Factoriza $4$ de $64$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.6.4

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.6.5

Factoriza $4$ de $4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.6.6

Factoriza $4$ de $4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.6.7

Factoriza $4$ de $4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - u)}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8

Simplifica.

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Paso 12.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.8.1.1

Expande $(a + 4 k) (a h^{2} - y - 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a (a h^{2}) + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.8.1.2.1

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 12.8.1.2.1.1

Mueve $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a \cdot a h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.1.2.1.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.1.2.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 \cdot a + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.1.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} + 4 \cdot (- 1 k y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.1.2.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.1.2.6

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y - 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2}) - (- a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.1.4

Simplifica.

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Paso 12.8.1.4.1

Multiplica $- (- a y)$ .

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Paso 12.8.1.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + 1 (a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.1.4.1.2

Multiplica $a$ por $1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.1.4.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.1.4.4

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.1.4.5

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.1.5

Elimina los paréntesis.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.2

Combina los términos opuestos en $a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k$ .

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Paso 12.8.2.1

Resta $a^{2} h^{2}$ de $a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + 0 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.8.2.2

Suma $- 8 a h + 16$ y $0$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.9

Reescribe $4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ como $2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ .

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Paso 12.9.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.9.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.10

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 12.11

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

Paso 13

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{a h - 4 + \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$

$x = \frac{a h - 4 - \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$