Precálculo Ejemplos

${(y - 3)}^{2} - 4 {(x - 1)}^{2} = 36$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Divide cada término por $36$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{36} - \frac{4 {(x - 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{9} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener las asíntotas y la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 6$

$b = 3$

$k = 3$

$h = 1$

Paso 4

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm 2 \cdot (x - (1)) + 3$

Paso 5

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 5.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \cdot (x - (1)) + 3$

Paso 5.2

Simplifica $2 \cdot (x - (1)) + 3$ .

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = 2 \cdot (x - 1) + 3$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 x + 2 \cdot - 1 + 3$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = 2 x - 2 + 3$

Paso 5.2.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$y = 2 x + 1$

Paso 6

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 6.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 2 \cdot (x - (1)) + 3$

Paso 6.2

Simplifica $- 2 \cdot (x - (1)) + 3$ .

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = - 2 \cdot (x - 1) + 3$

Paso 6.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 1 + 3$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = - 2 x + 2 + 3$

Paso 6.2.2

Suma $2$ y $3$ .

$y = - 2 x + 5$

Paso 7

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = 2 x + 1, y = - 2 x + 5$

Paso 8

Las asíntotas son $y = 2 x + 1$ y $y = - 2 x + 5$ .

Asíntotas: $y = 2 x + 1, y = - 2 x + 5$

Paso 9