Precálculo Ejemplos

$\frac{3 i}{{(4 - 5 i)}^{2}}$

Paso 1

Reescribe ${(4 - 5 i)}^{2}$ como $(4 - 5 i) (4 - 5 i)$ .

$\frac{3 i}{(4 - 5 i) (4 - 5 i)}$

Paso 2

Expande $(4 - 5 i) (4 - 5 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 i}{4 (4 - 5 i) - 5 i (4 - 5 i)}$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 i}{4 \cdot 4 + 4 (- 5 i) - 5 i (4 - 5 i)}$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 i}{4 \cdot 4 + 4 (- 5 i) - 5 i \cdot 4 - 5 i (- 5 i)}$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{3 i}{16 + 4 (- 5 i) - 5 i \cdot 4 - 5 i (- 5 i)}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 5 i \cdot 4 - 5 i (- 5 i)}$

Paso 3.1.3

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i - 5 i (- 5 i)}$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 5 i (- 5 i)$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 i i}$

Paso 3.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 (i^{1} i)}$

Paso 3.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 (i^{1} i^{1})}$

Paso 3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 i^{1 + 1}}$

Paso 3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 i^{2}}$

Paso 3.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 \cdot - 1}$

Paso 3.1.6

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i - 25}$

Paso 3.2

Resta $25$ de $16$ .

$\frac{3 i}{- 9 - 20 i - 20 i}$

Paso 3.3

Resta $20 i$ de $- 20 i$ .

$\frac{3 i}{- 9 - 40 i}$

Paso 4

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{3 i}{- 9 - 40 i}$ por el conjugado de $- 9 - 40 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{3 i}{- 9 - 40 i} \cdot \frac{- 9 + 40 i}{- 9 + 40 i}$

Paso 5

Multiplica.

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Paso 5.1

Combinar.

$\frac{3 i (- 9 + 40 i)}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 i \cdot - 9 + 3 i (40 i)}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Paso 5.2.2

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$\frac{- 27 i + 3 i (40 i)}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Paso 5.2.3

Multiplica $3 i (40 i)$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $40$ por $3$ .

$\frac{- 27 i + 120 i i}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Paso 5.2.3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 27 i + 120 (i^{1} i)}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Paso 5.2.3.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 27 i + 120 (i^{1} i^{1})}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Paso 5.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 27 i + 120 i^{1 + 1}}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Paso 5.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 27 i + 120 i^{2}}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{- 27 i + 120 \cdot - 1}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $120$ por $- 1$ .

$\frac{- 27 i - 120}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Paso 5.2.5

Reordena $- 27 i$ y $- 120$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Paso 5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.1

Expande $(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 120 - 27 i}{- 9 (- 9 + 40 i) - 40 i (- 9 + 40 i)}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 120 - 27 i}{- 9 \cdot - 9 - 9 (40 i) - 40 i (- 9 + 40 i)}$

Paso 5.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 120 - 27 i}{- 9 \cdot - 9 - 9 (40 i) - 40 i \cdot - 9 - 40 i (40 i)}$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $- 9$ por $- 9$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 9 (40 i) - 40 i \cdot - 9 - 40 i (40 i)}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $40$ por $- 9$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i - 40 i \cdot - 9 - 40 i (40 i)}$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $- 9$ por $- 40$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 40 i (40 i)}$

Paso 5.3.2.4

Multiplica $40$ por $- 40$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 1600 i i}$

Paso 5.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 1600 (i^{1} i)}$

Paso 5.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 1600 (i^{1} i^{1})}$

Paso 5.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 1600 i^{1 + 1}}$

Paso 5.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 1600 i^{2}}$

Paso 5.3.2.9

Suma $- 360 i$ y $360 i$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 + 0 - 1600 i^{2}}$

Paso 5.3.2.10

Suma $81$ y $0$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 1600 i^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 1600 \cdot - 1}$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $- 1600$ por $- 1$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 + 1600}$

Paso 5.3.4

Suma $81$ y $1600$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{1681}$

Paso 6

Divide la fracción $\frac{- 120 - 27 i}{1681}$ en dos fracciones.

$\frac{- 120}{1681} + \frac{- 27 i}{1681}$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{120}{1681} + \frac{- 27 i}{1681}$

Paso 7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{120}{1681} - \frac{27 i}{1681}$