Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{6} - 8}{x - \sqrt{2}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{2})}^{3}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{3} - 8}{x - \sqrt{2}}$

Paso 1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{3} - 2^{3}}{x - \sqrt{2}}$

Paso 1.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Paso 1.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 \cdot x^{2} + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Paso 1.4.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}}$

Paso 2

Multiplica $\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}}$ por $\frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}} \cdot \frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}}$ por $\frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{(x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})}$

Paso 3.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} + x \sqrt{2} - \sqrt{2} x - {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{1}}$

Paso 3.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 1 \cdot 2}$

Paso 3.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $x^{2} - 2$ .

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Paso 3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2}$

Paso 3.4.2

Divide $(x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})$ por $1$ .

$(x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})$

Paso 4

Expande $(x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{4} x + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ .

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Paso 5.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} x^{1} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Paso 5.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4 + 1} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Paso 5.1.2

Suma $4$ y $1$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Paso 5.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1

Mueve $x$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Paso 5.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Paso 5.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Paso 5.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{3} + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$