Precálculo Ejemplos

$\frac{9}{x^{3} - 8}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{9}{x^{3} - 2^{3}}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{9}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{9}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})}$

Paso 1.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{9}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

Paso 1.3

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2 x + 4}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$\frac{9 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} = \frac{(A) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x - 2} + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} = \frac{(A) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x - 2} + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9 (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4} = \frac{(A) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x - 2} + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x^{2} + 2 x + 4$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4} = \frac{(A) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x - 2} + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Paso 1.6.2

Divide $9$ por $1$ .

$9 = \frac{(A) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x - 2} + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$9 = \frac{A (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x - 2} + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (x^{2} + 2 x + 4)$ por $1$ .

$9 = (A) (x^{2} + 2 x + 4) + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 = A x^{2} + A (2 x) + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Paso 1.7.3

Simplifica.

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Paso 1.7.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 = A x^{2} + 2 A x + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Paso 1.7.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $A$ .

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 2 x + 4$ .

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Paso 1.7.4.1

Cancela el factor común.

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Paso 1.7.4.2

Divide $(B x + C) (x - 2)$ por $1$ .

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + (B x + C) (x - 2)$

Paso 1.7.5

Expande $(B x + C) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.7.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + B x (x - 2) + C (x - 2)$

Paso 1.7.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot - 2 + C (x - 2)$

Paso 1.7.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Paso 1.7.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.6.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.6.1.1

Mueve $x$ .

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Paso 1.7.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + B x^{2} + B x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Paso 1.7.6.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $B x$ .

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + B x^{2} - 2 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 2$

Paso 1.7.6.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $C$ .

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x - 2 C$

Paso 1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.1

Mueve $A$ .

$9 = A x^{2} + 2 x A + 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x - 2 C$

Paso 1.8.2

Reordena $B$ y $x^{2}$ .

$9 = A x^{2} + 2 x A + 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x - 2 C$

Paso 1.8.3

Mueve $B$ .

$9 = A x^{2} + 2 x A + 4 A + B x^{2} - 2 x B + C x - 2 C$

Paso 1.8.4

Mueve $4 A$ .

$9 = A x^{2} + 2 x A + B x^{2} - 2 x B + C x + 4 A - 2 C$

Paso 1.8.5

Mueve $2 x A$ .

$9 = A x^{2} + B x^{2} + 2 x A - 2 x B + C x + 4 A - 2 C$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 2 A - 2 B + C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$9 = 4 A - 2 C$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$0 = 2 A - 2 B + C$

$9 = 4 A - 2 C$

$0 = A + B$

$0 = 2 A - 2 B + C$

$9 = 4 A - 2 C$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$0 = 2 A - 2 B + C$

$9 = 4 A - 2 C$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$0 = 2 A - 2 B + C$

$9 = 4 A - 2 C$

$A = - B$

$0 = 2 A - 2 B + C$

$9 = 4 A - 2 C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = 2 A - 2 B + C$ por $- B$ .

$0 = 2 (- B) - 2 B + C$

$A = - B$

$9 = 4 A - 2 C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- B) - 2 B + C$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 = - 2 B - 2 B + C$

$A = - B$

$9 = 4 A - 2 C$

Paso 3.2.2.1.2

Resta $2 B$ de $- 2 B$ .

$0 = - 4 B + C$

$A = - B$

$9 = 4 A - 2 C$

$0 = - 4 B + C$

$A = - B$

$9 = 4 A - 2 C$

$0 = - 4 B + C$

$A = - B$

$9 = 4 A - 2 C$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $9 = 4 A - 2 C$ por $- B$ .

$9 = 4 (- B) - 2 C$

$0 = - 4 B + C$

$A = - B$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$9 = - 4 B - 2 C$

$0 = - 4 B + C$

$A = - B$

$9 = - 4 B - 2 C$

$0 = - 4 B + C$

$A = - B$

$9 = - 4 B - 2 C$

$0 = - 4 B + C$

$A = - B$

Paso 3.3

Resuelve $C$ en $0 = - 4 B + C$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 4 B + C = 0$ .

$- 4 B + C = 0$

$9 = - 4 B - 2 C$

$A = - B$

Paso 3.3.2

Suma $4 B$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 4 B$

$9 = - 4 B - 2 C$

$A = - B$

$C = 4 B$

$9 = - 4 B - 2 C$

$A = - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $C$ por $4 B$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $9 = - 4 B - 2 C$ por $4 B$ .

$9 = - 4 B - 2 (4 B)$

$C = 4 B$

$A = - B$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $- 4 B - 2 (4 B)$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$9 = - 4 B - 8 B$

$C = 4 B$

$A = - B$

Paso 3.4.2.1.2

Resta $8 B$ de $- 4 B$ .

$9 = - 12 B$

$C = 4 B$

$A = - B$

$9 = - 12 B$

$C = 4 B$

$A = - B$

$9 = - 12 B$

$C = 4 B$

$A = - B$

$9 = - 12 B$

$C = 4 B$

$A = - B$

Paso 3.5

Resuelve $B$ en $9 = - 12 B$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $- 12 B = 9$ .

$- 12 B = 9$

$C = 4 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $- 12 B = 9$ por $- 12$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $- 12 B = 9$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 B}{- 12} = \frac{9}{- 12}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 12$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 12 B}{- 12} = \frac{9}{- 12}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{9}{- 12}$

$C = 4 B$

$A = - B$

$B = \frac{9}{- 12}$

$C = 4 B$

$A = - B$

$B = \frac{9}{- 12}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Cancela el factor común de $9$ y $- 12$ .

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Paso 3.5.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$B = \frac{3 (3)}{- 12}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$B = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot - 4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$B = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot - 4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$B = \frac{3}{- 4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

$B = \frac{3}{- 4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

$B = \frac{3}{- 4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = - \frac{3}{4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

$B = - \frac{3}{4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

$B = - \frac{3}{4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

$B = - \frac{3}{4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- \frac{3}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $C = 4 B$ por $- \frac{3}{4}$ .

$C = 4 (- \frac{3}{4})$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = - B$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{4}$ al numerador.

$C = 4 (\frac{- 3}{4})$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = - B$

Paso 3.6.2.1.2

Cancela el factor común.

$C = 4 (\frac{- 3}{4})$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = - B$

Paso 3.6.2.1.3

Reescribe la expresión.

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = - B$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = - B$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = - B$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $- \frac{3}{4}$ .

$A = - (- \frac{3}{4})$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

Paso 3.6.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.4.1

Multiplica $- (- \frac{3}{4})$ .

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Paso 3.6.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1 (\frac{3}{4})$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

Paso 3.6.4.1.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$A = \frac{3}{4}$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{3}{4}, C = - 3, B = - \frac{3}{4}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 2} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2 x + 4}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{x - 2} + \frac{- \frac{3}{4 x} - 3}{x^{2} + 2 x + 4}$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Combina $x$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{x - 2} + \frac{- \frac{x \cdot 3}{4} - 3}{x^{2} + 2 x + 4}$

Paso 5.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{x - 2} + \frac{- \frac{3 x}{4} - 3}{x^{2} + 2 x + 4}$