Precálculo Ejemplos

$7 \sin^{2} (x) - 14 \sin (x) + 2 = - 5$

Paso 1

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$7 {(u)}^{2} - 14 u + 2 = - 5$

Paso 2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$7 u^{2} - 14 u + 2 + 5 = 0$

Paso 3

Suma $2$ y $5$ .

$7 u^{2} - 14 u + 7 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $7$ de $7 u^{2} - 14 u + 7$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $7$ de $7 u^{2}$ .

$7 u^{2} - 14 u + 7 = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza $7$ de $- 14 u$ .

$7 u^{2} + 7 (- 2 u) + 7 = 0$

Paso 4.1.3

Factoriza $7$ de $7$ .

$7 u^{2} + 7 (- 2 u) + 7 (1) = 0$

Paso 4.1.4

Factoriza $7$ de $7 u^{2} + 7 (- 2 u)$ .

$7 (u^{2} - 2 u) + 7 (1) = 0$

Paso 4.1.5

Factoriza $7$ de $7 (u^{2} - 2 u) + 7 (1)$ .

$7 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Paso 4.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$7 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Paso 4.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 4.2.3

Reescribe el polinomio.

$7 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$7 {(u - 1)}^{2} = 0$

Paso 5

Divide cada término en $7 {(u - 1)}^{2} = 0$ por $7$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $7 {(u - 1)}^{2} = 0$ por $7$ .

$\frac{7 {(u - 1)}^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 {(u - 1)}^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Paso 5.2.1.2

Divide ${(u - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{7}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Divide $0$ por $7$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Paso 6

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 7

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 8

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = 1$

Paso 9

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 10

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 11

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 12

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 12.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 12.2

Combina fracciones.

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Paso 12.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 12.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 12.3

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 12.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 13

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 13.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 13.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 13.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 13.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 14

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 15