Precálculo Ejemplos

$x^{4} - x^{3} - 8 x + 8 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{4} - x^{3}) - 8 x + 8 = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{3} (x - 1) - 8 (x - 1) = 0$

Paso 1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$(x - 1) (x^{3} - 8) = 0$

Paso 1.3

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$(x - 1) (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Paso 1.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x - 1) ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 1.5

Factoriza.

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Paso 1.5.1

Simplifica.

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Paso 1.5.1.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 1) ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Paso 1.5.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(x - 1) ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Paso 1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Paso 3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 1, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 7