Precálculo Ejemplos

${(x)}^{- \frac{2}{3}} + {(x)}^{- \frac{1}{3}} - 12 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{- \frac{2}{3}}$ como ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2}$ .

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2} + x^{- \frac{1}{3}} - 12 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = x^{- \frac{1}{3}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$u^{2} + u - 12 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} + u - 12$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 3) (u + 4) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$(x^{- \frac{1}{3}} - 3) (x^{- \frac{1}{3}} + 4) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} - 3 = 0$

$x^{- \frac{1}{3}} + 4 = 0$

Paso 3

Establece $x^{- \frac{1}{3}} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x^{- \frac{1}{3}} - 3$ igual a $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} - 3 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x^{- \frac{1}{3}} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{- \frac{1}{3}} = 3$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $- 3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = 3^{- 3}$

Paso 3.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = 3^{- 3}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = 3^{- 3}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = 3^{- 3}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = 3^{- 3}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$x^{- 1 \cdot - 1} = 3^{- 3}$

Paso 3.2.3.1.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{1} = 3^{- 3}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 3^{- 3}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.2.1

Simplifica $3^{- 3}$ .

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Paso 3.2.3.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{3^{3}}$

Paso 3.2.3.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x = \frac{1}{27}$

Paso 4

Establece $x^{- \frac{1}{3}} + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{- \frac{1}{3}} + 4$ igual a $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} + 4 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{- \frac{1}{3}} + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{- \frac{1}{3}} = - 4$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $- 3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = {(- 4)}^{- 3}$

Paso 4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = {(- 4)}^{- 3}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = {(- 4)}^{- 3}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = {(- 4)}^{- 3}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = {(- 4)}^{- 3}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$x^{- 1 \cdot - 1} = {(- 4)}^{- 3}$

Paso 4.2.3.1.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{1} = {(- 4)}^{- 3}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 4)}^{- 3}$

Paso 4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.2.1

Simplifica ${(- 4)}^{- 3}$ .

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Paso 4.2.3.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{{(- 4)}^{3}}$

Paso 4.2.3.2.1.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$x = \frac{1}{- 64}$

Paso 4.2.3.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{64}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{- \frac{1}{3}} - 3) (x^{- \frac{1}{3}} + 4) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{27}, - \frac{1}{64}$

Paso 6