Precálculo Ejemplos

$2 x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + 9 x + 27 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reagrupa los términos.

$- x^{3} + 9 x + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $- x$ de $- x^{3} + 9 x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $- x$ de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 9 x + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $- x$ de $9 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 9 + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $- x$ de $- x (x^{2}) - x (- 9)$ .

$- x (x^{2} - 9) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Paso 1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- x (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Paso 1.4

Factoriza.

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Paso 1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$- x ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Paso 1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Paso 1.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Paso 1.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 21 u + 27 = 0$

Paso 1.7

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 27 = 54$ y cuya suma es $b = - 21$ .

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Paso 1.7.1.1

Factoriza $- 21$ de $- 21 u$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 21 u + 27 = 0$

Paso 1.7.1.2

Reescribe $- 21$ como $- 3$ más $- 18$

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} + (- 3 - 18) u + 27 = 0$

Paso 1.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 3 u - 18 u + 27 = 0$

Paso 1.7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 3 u - 18 u + 27 = 0$

Paso 1.7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- x (x + 3) (x - 3) + u (2 u - 3) - 9 (2 u - 3) = 0$

Paso 1.7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 3$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 u - 3) (u - 9) = 0$

Paso 1.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x^{2} - 9) = 0$

Paso 1.9

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Paso 1.10

Factoriza.

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Paso 1.10.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 1.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 1.11

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)$ .

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Paso 1.11.1

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $- x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 1.11.2

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $(2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 3) = 0$

Paso 1.11.3

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x + 2 x^{2} - 3) = 0$

Paso 1.12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (- u + 2 u^{2} - 3) = 0$

Paso 1.13

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.13.1

Reordena los términos.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - u - 3) = 0$

Paso 1.13.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 1.13.2.1

Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - (u) - 3) = 0$

Paso 1.13.2.2

Reescribe $- 1$ como $2$ más $- 3$

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + (2 - 3) u - 3) = 0$

Paso 1.13.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + 2 u - 3 u - 3) = 0$

Paso 1.13.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.13.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 3) (x - 3) ((2 u^{2} + 2 u) - 3 u - 3) = 0$

Paso 1.13.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 3) (x - 3) (2 u (u + 1) - 3 (u + 1)) = 0$

Paso 1.13.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $u + 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((u + 1) (2 u - 3)) = 0$

Paso 1.14

Factoriza.

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Paso 1.14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x + 1) (2 x - 3)) = 0$

Paso 1.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 3) (x - 3) (x + 1) (2 x - 3) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Paso 3

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 6

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) (x - 3) (x + 1) (2 x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - 3, 3, - 1, \frac{3}{2}$

Paso 8