Precálculo Ejemplos

$5 \cot^{2} (x) - 15 = 0$

Paso 1

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$5 \cot^{2} (x) = 15$

Paso 2

Divide cada término en $5 \cot^{2} (x) = 15$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $5 \cot^{2} (x) = 15$ por $5$ .

$\frac{5 \cot^{2} (x)}{5} = \frac{15}{5}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cot^{2} (x)}{5} = \frac{15}{5}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\cot^{2} (x)$ por $1$ .

$\cot^{2} (x) = \frac{15}{5}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide $15$ por $5$ .

$\cot^{2} (x) = 3$

Paso 3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

Paso 4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

Paso 4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Paso 4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 5

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Paso 6

Resuelve $x$ en $\cot (x) = \sqrt{3}$ .

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Paso 6.1

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

El valor exacto de $arccot (\sqrt{3})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 6.3

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{6}$

Paso 6.4

Simplifica $π + \frac{π}{6}$ .

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Paso 6.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Paso 6.4.2

Combina fracciones.

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Paso 6.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Paso 6.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Paso 6.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Paso 6.4.3.2

Suma $6 π$ y $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 6.5

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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Paso 6.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 6.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 6.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 6.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 6.6

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Resuelve $x$ en $\cot (x) = - \sqrt{3}$ .

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Paso 7.1

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (- \sqrt{3})$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

El valor exacto de $arccot (- \sqrt{3})$ es $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 7.3

La cotangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

Paso 7.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 7.4.1

Suma $2 π$ a $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

Paso 7.4.2

El ángulo resultante de $\frac{11 π}{6}$ es positivo y coterminal con $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 7.5

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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Paso 7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 7.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 7.6

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Consolida las soluciones.

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Paso 9.1

Consolida $\frac{π}{6} + π n$ y $\frac{7 π}{6} + π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9.2

Consolida $\frac{5 π}{6} + π n$ y $\frac{11 π}{6} + π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10