Precálculo Ejemplos

$\cos (2 x) = \sin (x)$

Paso 1

Resta $\sin (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (2 x) - \sin (x) = 0$

Paso 2

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Reordena los términos.

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 = 0$

Paso 3.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 = 0$

Paso 3.2.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1 = 0$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

Paso 3.2.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

Paso 3.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1) = 0$

Paso 3.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 \sin (x) + 1$ .

$(- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 5

Establece $- 2 \sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $- 2 \sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 5.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 5.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Paso 5.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 5.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 5.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 5.2.6.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 5.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 5.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 1$

Paso 6.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 6.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 6.2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 6.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 6.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 6.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 6.2.7.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 6.2.7.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.7.3

Combina fracciones.

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Paso 6.2.7.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 6.2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.7.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 6.2.7.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 6.2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 6.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9