Precálculo Ejemplos

$6 - 6 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x)$

Paso 1

Resta $4 \cos^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$6 - 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 2

Reemplaza $- 4 \cos^{2} (x)$ con $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$6 - 6 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 - 6 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 3.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$6 - 6 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$6 - 6 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 4

Resta $4$ de $6$ .

$- 6 \sin (x) + 2 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 5

Reordena el polinomio.

$4 \sin^{2} (x) - 6 \sin (x) + 2 = 0$

Paso 6

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$4 {(u)}^{2} - 6 u + 2 = 0$

Paso 7

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $4 u^{2} - 6 u + 2$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $2$ de $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) - 6 u + 2 = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza $2$ de $- 6 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 3 u) + 2 = 0$

Paso 7.1.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 3 u) + 2 (1) = 0$

Paso 7.1.4

Factoriza $2$ de $2 (2 u^{2}) + 2 (- 3 u)$ .

$2 (2 u^{2} - 3 u) + 2 (1) = 0$

Paso 7.1.5

Factoriza $2$ de $2 (2 u^{2} - 3 u) + 2 (1)$ .

$2 (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Paso 7.2

Factoriza.

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Paso 7.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 u$ .

$2 (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe $- 3$ como $- 1$ más $- 2$

$2 (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

Paso 7.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Paso 7.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Paso 7.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

Paso 7.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$2 ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Paso 7.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (2 u - 1) (u - 1) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Paso 9

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 9.1

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $2 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 9.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Paso 9.2.2

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 9.2.2.1

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 9.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 9.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Paso 10

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 10.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 10.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (2 u - 1) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{2}, 1$

Paso 12

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, 1$

Paso 13

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = 1$

Paso 14

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

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Paso 14.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 14.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 14.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Paso 14.4

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 14.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 14.4.2

Combina fracciones.

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Paso 14.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 14.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 14.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 14.4.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 14.4.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 14.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 14.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 14.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 14.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 14.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 14.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 15

Resuelve $x$ en $\sin (x) = 1$ .

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Paso 15.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 15.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 15.2.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 15.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 15.4

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 15.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 15.4.2

Combina fracciones.

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Paso 15.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 15.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 15.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 15.4.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 15.4.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 15.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 15.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 15.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 15.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 15.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 15.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 16

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 17