Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$

Paso 1

Establece $x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$ igual a $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- 2 x^{3} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x^{3} + 18 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $- 2 x$ de $18 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 9)$ .

$- 2 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza.

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Paso 2.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$- 2 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Paso 2.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Paso 2.1.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Paso 2.1.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 15 u + 54 = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $u^{2} - 15 u + 54$ con el método AC.

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Paso 2.1.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $54$ y cuya suma es $- 15$ .

$- 9, - 6$

Paso 2.1.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 6) = 0$

Paso 2.1.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 6) = 0$

Paso 2.1.9

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Paso 2.1.10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Paso 2.1.11

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

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Paso 2.1.11.1

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $- 2 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Paso 2.1.11.2

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x + x^{2} - 6) = 0$

Paso 2.1.12

Reordena los términos.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.5

Establece $x^{2} - 2 x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} - 2 x - 6$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} - 2 x - 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Paso 2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.3

Suma $4$ y $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 2.5.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Paso 2.5.2.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{7}$

Paso 2.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$ verdadera.

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Forma decimal:

$x = - 3, 3, 3.64575131 \dots, - 1.64575131 \dots$

Paso 4