Precálculo Ejemplos

$p - 8 \sqrt{p} = - 15$

Paso 1

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$p - 8 \sqrt{p} + 15 = 0$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{p}$ como $p^{\frac{1}{2}}$ .

$p - 8 p^{\frac{1}{2}} + 15 = 0$

Paso 3

Reescribe $p$ como ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

${(p^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 p^{\frac{1}{2}} + 15 = 0$

Paso 4

Sea $u = p^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $p^{\frac{1}{2}}$ .

$u^{2} - 8 u + 15 = 0$

Paso 5

Factoriza $u^{2} - 8 u + 15$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $15$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 5, - 3$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 5) (u - 3) = 0$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $p^{\frac{1}{2}}$ .

$(p^{\frac{1}{2}} - 5) (p^{\frac{1}{2}} - 3) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$p^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

$p^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

Paso 8

Establece $p^{\frac{1}{2}} - 5$ igual a $0$ y resuelve $p$ .

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Paso 8.1

Establece $p^{\frac{1}{2}} - 5$ igual a $0$ .

$p^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $p^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$ en $p$ .

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Paso 8.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$p^{\frac{1}{2}} = 5$

Paso 8.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = 5^{2}$

Paso 8.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.3.1.1

Simplifica ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Paso 8.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Paso 8.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$p^{1} = 5^{2}$

Paso 8.2.3.1.1.2

Simplifica.

$p = 5^{2}$

Paso 8.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$p = 25$

Paso 9

Establece $p^{\frac{1}{2}} - 3$ igual a $0$ y resuelve $p$ .

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Paso 9.1

Establece $p^{\frac{1}{2}} - 3$ igual a $0$ .

$p^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $p^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$ en $p$ .

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Paso 9.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$p^{\frac{1}{2}} = 3$

Paso 9.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Paso 9.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 9.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.3.1.1

Simplifica ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Paso 9.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Paso 9.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$p^{1} = 3^{2}$

Paso 9.2.3.1.1.2

Simplifica.

$p = 3^{2}$

Paso 9.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$p = 9$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(p^{\frac{1}{2}} - 5) (p^{\frac{1}{2}} - 3) = 0$ verdadera.

$p = 25, 9$