Precálculo Ejemplos

$\cos (2 x) + \cos (4 x) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (4 x) = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (2 (2 x)) = 0$

Paso 1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2} - 1 = 0$

Paso 1.1.3.2

Reescribe ${(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$ como $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 ((2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

Paso 1.1.3.3

Expande $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

Paso 1.1.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

Paso 1.1.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Paso 1.1.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Paso 1.1.3.4.1.2

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.4.1.2.1

Mueve $\cos^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x))) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Paso 1.1.3.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 {\cos (x)}^{2 + 2}) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Paso 1.1.3.4.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 \cos^{4} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Paso 1.1.3.4.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Paso 1.1.3.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Paso 1.1.3.4.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Paso 1.1.3.4.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1) - 1 = 0$

Paso 1.1.3.4.2

Resta $2 \cos^{2} (x)$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) - 1 = 0$

Paso 1.1.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

Paso 1.1.3.6

Simplifica.

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Paso 1.1.3.6.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

Paso 1.1.3.6.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

Paso 1.1.3.6.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 - 1 = 0$

Paso 1.1.4

Resta $1$ de $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Paso 1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.2.1

Combina los términos opuestos en $2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1$ .

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Paso 1.2.1.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + 0 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 1.2.1.2

Suma $2 \cos^{2} (x)$ y $0$ .

$2 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 1.2.2

Resta $8 \cos^{2} (x)$ de $2 \cos^{2} (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) = 0$

Paso 2

Factoriza $2 \cos^{2} (x)$ de $- 6 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x)$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2 \cos^{2} (x)$ de $- 6 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 8 \cos^{4} (x) = 0$

Paso 2.2

Factoriza $2 \cos^{2} (x)$ de $8 \cos^{4} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 2 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x)) = 0$

Paso 2.3

Factoriza $2 \cos^{2} (x)$ de $2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 2 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x))$ .

$2 \cos^{2} (x) (- 3 + 4 \cos^{2} (x)) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 4

Establece $\cos^{2} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\cos^{2} (x)$ igual a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\cos^{2} (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\cos (x) = \pm 0$

Paso 4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 4.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 4.2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.6

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 4.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 4.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.6.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 4.2.6.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 4.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 4.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Establece $- 3 + 4 \cos^{2} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $- 3 + 4 \cos^{2} (x)$ igual a $0$ .

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 5.2

Resuelve $- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 \cos^{2} (x) = 3$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $4 \cos^{2} (x) = 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $4 \cos^{2} (x) = 3$ por $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Paso 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Paso 5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 5.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.2.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 5.2.4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5.2.6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5.2.7

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 5.2.7.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 5.2.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.7.2.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 5.2.7.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Paso 5.2.7.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 5.2.7.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.2.7.4.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.7.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.2.7.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 5.2.7.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.7.4.3.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Paso 5.2.7.4.3.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 5.2.7.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 5.2.7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.7.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.7.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.8

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 5.2.8.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 5.2.8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.8.2.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 5.2.8.3

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Paso 5.2.8.4

Simplifica $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Paso 5.2.8.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Paso 5.2.8.4.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.8.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Paso 5.2.8.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Paso 5.2.8.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.8.4.3.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Paso 5.2.8.4.3.2

Resta $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 5.2.8.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 5.2.8.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.8.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.8.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.8.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.8.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.9

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.10

Consolida las soluciones.

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Paso 5.2.10.1

Consolida $\frac{π}{6} + 2 π n$ y $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.10.2

Consolida $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ y $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \cos^{2} (x) (- 3 + 4 \cos^{2} (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Consolida las respuestas.

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Paso 7.1

Consolida $\frac{π}{2} + 2 π n$ y $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7.2

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$