Precálculo Ejemplos

$\sin^{3} (x) = \sin (x)$

Paso 1

Resta $\sin (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin^{3} (x) - \sin (x) = 0$

Paso 2

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{3} (x) - \sin (x)$ .

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Paso 2.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{3} (x)$ .

$\sin (x) \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Paso 2.2

Factoriza $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Paso 2.3

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sin (x) (\sin^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sin (x)$ y $b = 1$ .

$\sin (x) ((\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1)) = 0$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\sin (x) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Paso 6

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 6.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 6.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 6.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $\sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 1$

Paso 7.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 7.2.4

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 7.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 7.2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 7.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 7.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 7.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.2.7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 7.2.7.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 7.2.7.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 7.2.7.3

Combina fracciones.

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Paso 7.2.7.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 7.2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 7.2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.7.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 7.2.7.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 7.2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 7.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Establece $\sin (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $\sin (x) - 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $\sin (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = 1$

Paso 8.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 8.2.4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 8.2.5

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 8.2.5.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 8.2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 8.2.5.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 8.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 8.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.5.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 8.2.5.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 8.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 8.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 8.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 8.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 8.2.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin (x) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$