Precálculo Ejemplos

$\sin^{2} (x) = 3 \cos^{2} (x)$

Paso 1

Resta $3 \cos^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 2

Reemplaza $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 3 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 3

Resta $3 \cos^{2} (x)$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$1 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 4

Reordena el polinomio.

$- 4 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Paso 5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 1$

Paso 6

Divide cada término en $- 4 \cos^{2} (x) = - 1$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $- 4 \cos^{2} (x) = - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 6.2.1.2

Divide $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Paso 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Paso 8

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 8.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Paso 8.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Paso 8.3

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 8.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

Paso 9

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Paso 9.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 9.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Paso 10

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 11

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Paso 11.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 11.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 11.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 11.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 11.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 11.4.2

Combina fracciones.

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Paso 11.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 11.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 11.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 11.4.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 11.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 11.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 11.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 11.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 11.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 11.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Paso 12.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 12.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 12.3

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 12.4

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 12.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 12.4.2

Combina fracciones.

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Paso 12.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 12.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 12.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 12.4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 12.4.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 12.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 12.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 12.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 12.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 12.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 12.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14

Consolida las soluciones.

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Paso 14.1

Consolida $\frac{π}{3} + 2 π n$ y $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14.2

Consolida $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ y $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$