Precálculo Ejemplos

$\tan^{2} (3 x) = \sqrt{1}$

Paso 1

Resta $\sqrt{1}$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan^{2} (3 x) - \sqrt{1} = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1 = 0$

Paso 3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1^{2} = 0$

Paso 4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \tan (3 x)$ y $b = 1$ .

$(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\tan (3 x) + 1 = 0$

$\tan (3 x) - 1 = 0$

Paso 6

Establece $\tan (3 x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\tan (3 x) + 1$ igual a $0$ .

$\tan (3 x) + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\tan (3 x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan (3 x) = - 1$

Paso 6.2.2

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$3 x = \arctan (- 1)$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$3 x = - \frac{π}{4}$

Paso 6.2.4

Divide cada término en $3 x = - \frac{π}{4}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.2.4.1

Divide cada término en $3 x = - \frac{π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Paso 6.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Paso 6.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Paso 6.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 6.2.4.3.2

Multiplica $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 6.2.4.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 4}$

Paso 6.2.4.3.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Paso 6.2.5

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$3 x = - \frac{π}{4} - π$

Paso 6.2.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 6.2.6.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$3 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 6.2.6.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Paso 6.2.6.3

Divide cada término en $3 x = \frac{3 π}{4}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.2.6.3.1

Divide cada término en $3 x = \frac{3 π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Paso 6.2.6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.6.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Paso 6.2.6.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Paso 6.2.6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.6.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 6.2.6.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.6.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 6.2.6.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 6.2.6.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{4}$

Paso 6.2.7

Obtén el período de $\tan (3 x)$ .

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Paso 6.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 6.2.7.2

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 3 |}$

Paso 6.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{π}{3}$

Paso 6.2.8

Suma $\frac{π}{3}$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 6.2.8.1

Suma $\frac{π}{3}$ y $- \frac{π}{12}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{12} + \frac{π}{3}$

Paso 6.2.8.2

Para escribir $\frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{12}$

Paso 6.2.8.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.8.3.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{12}$

Paso 6.2.8.3.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{12}$

Paso 6.2.8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{12}$

Paso 6.2.8.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.8.5.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{12}$

Paso 6.2.8.5.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{12}$

Paso 6.2.8.6

Cancela el factor común de $3$ y $12$ .

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Paso 6.2.8.6.1

Factoriza $3$ de $3 π$ .

$\frac{3 (π)}{12}$

Paso 6.2.8.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.8.6.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Paso 6.2.8.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Paso 6.2.8.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{4}$

Paso 6.2.8.7

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{π}{4}$

Paso 6.2.9

El período de la función $\tan (3 x)$ es $\frac{π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Establece $\tan (3 x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $\tan (3 x) - 1$ igual a $0$ .

$\tan (3 x) - 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $\tan (3 x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\tan (3 x) = 1$

Paso 7.2.2

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$3 x = \arctan (1)$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4}$

Paso 7.2.4

Divide cada término en $3 x = \frac{π}{4}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.2.4.1

Divide cada término en $3 x = \frac{π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Paso 7.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Paso 7.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Paso 7.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 7.2.4.3.2

Multiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 7.2.4.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Paso 7.2.4.3.2.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$x = \frac{π}{12}$

Paso 7.2.5

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$3 x = π + \frac{π}{4}$

Paso 7.2.6

Resuelve $x$

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Paso 7.2.6.1

Simplifica.

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Paso 7.2.6.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 7.2.6.1.2

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 7.2.6.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 7.2.6.1.4

Suma $π \cdot 4$ y $π$ .

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Paso 7.2.6.1.4.1

Reordena $π$ y $4$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 7.2.6.1.4.2

Suma $4 \cdot π$ y $π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Paso 7.2.6.2

Divide cada término en $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.2.6.2.1

Divide cada término en $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Paso 7.2.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.6.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Paso 7.2.6.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Paso 7.2.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.6.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 7.2.6.2.3.2

Multiplica $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 7.2.6.2.3.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Paso 7.2.6.2.3.2.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Paso 7.2.7

Obtén el período de $\tan (3 x)$ .

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Paso 7.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 7.2.7.2

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 3 |}$

Paso 7.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{π}{3}$

Paso 7.2.8

El período de la función $\tan (3 x)$ es $\frac{π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{6}$ , para cualquier número entero $n$