Precálculo Ejemplos

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) = \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x)$

Paso 1

Resta $\sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x) = 0$

Paso 2

Reemplaza $\sec^{2} (x)$ con $1 + \tan^{2} (x)$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x) = 0$

Paso 3

Multiplica $- \sec^{2} (x)$ por $\csc^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Simplifica $1 + \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ .

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Paso 4.1.1

Reorganiza los términos.

$\tan^{2} (x) + 1 + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

Paso 4.1.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

Paso 4.1.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1.3.1

Mueve $- \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

Paso 4.1.3.2

Factoriza $- \sec^{2} (x)$ de $\sec^{2} (x)$ .

$- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

Paso 4.1.3.3

Factoriza $- \sec^{2} (x)$ de $- \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ .

$- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) (\csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) = 0$

Paso 4.1.3.4

Factoriza $- \sec^{2} (x)$ de $- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) (\csc^{2} (x))$ .

$- \sec^{2} (x) \cdot (- 1 + \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) = 0$

Paso 4.1.4

Reorganiza los términos.

$- \sec^{2} (x) \cdot (\csc^{2} (x) - 1) + \csc^{2} (x) = 0$

Paso 4.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$- \sec^{2} (x) \cdot \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

Paso 4.1.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.6.1

Reescribe $\sec^{2} (x) \cdot \cot^{2} (x)$ como ${(\sec (x) \cot (x))}^{2}$ .

$- {(\sec (x) \cot (x))}^{2} + \csc^{2} (x) = 0$

Paso 4.1.6.2

Reordena $- {(\sec (x) \cot (x))}^{2}$ y $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) - {(\sec (x) \cot (x))}^{2} = 0$

Paso 4.1.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \csc (x)$ y $b = \sec (x) \cot (x)$ .

$(\csc (x) + \sec (x) \cot (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Paso 4.1.8

Simplifica los términos.

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Paso 4.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.8.1.1

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.8.1.1.1

Reordena $\sec (x)$ y $\cot (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x) \sec (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Paso 4.1.8.1.1.2

Reescribe $\sec (x) \cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Paso 4.1.8.1.1.3

Cancela los factores comunes.

$(\csc (x) + \frac{1}{\sin (x)}) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Paso 4.1.8.1.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$(\csc (x) + \csc (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Paso 4.1.8.2

Suma $\csc (x)$ y $\csc (x)$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Paso 4.1.8.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.8.3.1

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.8.3.1.1

Reordena $\sec (x)$ y $\cot (x)$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\cot (x) \sec (x))) = 0$

Paso 4.1.8.3.1.2

Reescribe $- (\sec (x) \cot (x))$ en términos de senos y cosenos.

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})) = 0$

Paso 4.1.8.3.1.3

Cancela los factores comunes.

$2 \csc (x) (\csc (x) - \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

Paso 4.1.8.3.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) - \csc (x)) = 0$

Paso 4.1.8.4

Resta $\csc (x)$ de $\csc (x)$ .

$2 \csc (x) \cdot 0 = 0$

Paso 4.1.9

Multiplica $2 \csc (x) \cdot 0$ .

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Paso 4.1.9.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$0 \csc (x) = 0$

Paso 4.1.9.2

Multiplica $0$ por $\csc (x)$ .

$0 = 0$

Paso 5

Como $0 = 0$ , la ecuación siempre será verdadera.

Siempre verdadero