Precálculo Ejemplos

$3^{x - 7} = \frac{1}{27}$

Paso 1

Resta $\frac{1}{27}$ de ambos lados de la ecuación.

$3^{x - 7} - \frac{1}{27} = 0$

Paso 2

Simplifica $3^{x - 7} - \frac{1}{27}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $3^{x - 7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27}{27}$ .

$3^{x - 7} \cdot \frac{27}{27} - \frac{1}{27} = 0$

Paso 2.2

Combina $3^{x - 7}$ y $\frac{27}{27}$ .

$\frac{3^{x - 7} \cdot 27}{27} - \frac{1}{27} = 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3^{x - 7} \cdot 27 - 1}{27} = 0$

Paso 2.4

Multiplica $3^{x - 7} \cdot 27$ .

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Paso 2.4.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{3^{x - 7} \cdot 3^{3} - 1}{27} = 0$

Paso 2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3^{x - 7 + 3} - 1}{27} = 0$

Paso 2.4.3

Suma $- 7$ y $3$ .

$\frac{3^{x - 4} - 1}{27} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$3^{x - 4} - 1 = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3^{x - 4} = 1$

Paso 4.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{x - 4}) = \ln (1)$

Paso 4.3

Expande $\ln (3^{x - 4})$ ; para ello, mueve $x - 4$ fuera del logaritmo.

$(x - 4) \ln (3) = \ln (1)$

Paso 4.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (3) - 4 \ln (3) = \ln (1)$

Paso 4.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x \ln (3) - 4 \ln (3) = 0$

Paso 4.6

Suma $4 \ln (3)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (3) = 4 \ln (3)$

Paso 4.7

Divide cada término en $x \ln (3) = 4 \ln (3)$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Paso 4.7.1

Divide cada término en $x \ln (3) = 4 \ln (3)$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Paso 4.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.7.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 4.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Paso 4.7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Paso 4.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.7.3.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 4.7.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Paso 4.7.3.1.2

Divide $4$ por $1$ .

$x = 4$