Precálculo Ejemplos

$5^{2 x} + 5^{x + 1} - 24 = 0$

Paso 1

Reescribe $5^{x + 1}$ como $5^{x} \cdot 5^{1}$ .

$5^{2 x} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

Paso 2

Reescribe $5^{2 x}$ como ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

Paso 3

Sea $u = 5^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $5^{x}$ .

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Paso 3.1

Evalúa el exponente.

$u^{2} + u \cdot 5 - 24 = 0$

Paso 3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $u$ .

$u^{2} + 5 u - 24 = 0$

Paso 4

Factoriza $u^{2} + 5 u - 24$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 24$ y cuya suma es $5$ .

$- 3, 8$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 3) (u + 8) = 0$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5^{x}$ .

$(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

$5^{x} + 8 = 0$

Paso 7

Establece $5^{x} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $5^{x} - 3$ igual a $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $5^{x} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$5^{x} = 3$

Paso 7.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5^{x}) = \ln (3)$

Paso 7.2.3

Expande $\ln (5^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (5) = \ln (3)$

Paso 7.2.4

Divide cada término en $x \ln (5) = \ln (3)$ por $\ln (5)$ y simplifica.

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Paso 7.2.4.1

Divide cada término en $x \ln (5) = \ln (3)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Paso 7.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 7.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Paso 7.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Paso 8

Establece $5^{x} + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $5^{x} + 8$ igual a $0$ .

$5^{x} + 8 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $5^{x} + 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$5^{x} = - 8$

Paso 8.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 8)$

Paso 8.2.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 8)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 8.2.4

No hay soluciones para $5^{x} = - 8$

No hay solución

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$ verdadera.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$