Precálculo Ejemplos

$6 + 6 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x)$

Paso 1

Resta $4 \cos^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 2

Factoriza $2$ de $6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 2.2

Factoriza $2$ de $6 \sin (x)$ .

$2 (3) + 2 (3 \sin (x)) - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 2.3

Factoriza $2$ de $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$2 (3) + 2 (3 \sin (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x)) = 0$

Paso 2.4

Factoriza $2$ de $2 (3) + 2 (3 \sin (x))$ .

$2 (3 + 3 \sin (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x)) = 0$

Paso 2.5

Factoriza $2$ de $2 (3 + 3 \sin (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$ .

$2 (3 + 3 \sin (x) - 2 \cos^{2} (x)) = 0$

Paso 3

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{2 (3 + 3 \sin (x) - 2 \cos^{2} (x))}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 4

Reemplaza $\cos (x)$ con una expresión equivalente en el numerador.

$2 (3 + 3 \sin (x) - 2 \cos^{2} (x)) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5

Elimina los paréntesis.

$2 (3 + 3 \sin (x) - 2 \cos^{2} (x)) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \cdot 3 + 2 (3 \sin (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$(6 + 2 (3 \sin (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$(6 + 6 \sin (x) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$(6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 8

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$(6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 9

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (\frac{1}{\cos (x)}) + 6 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) - 4 \cos^{2} (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $6$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{6}{\cos (x)} + 6 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) - 4 \cos^{2} (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 10.2

Multiplica $6 \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Paso 10.2.1

Combina $\frac{1}{\cos (x)}$ y $6$ .

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6}{\cos (x)} \cdot \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 10.2.2

Combina $\frac{6}{\cos (x)}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos^{2} (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $\cos (x)$ de $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 10.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 11

Simplifica cada término.

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Paso 11.1

Separa las fracciones.

$\frac{6}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 11.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{6}{1} \cdot \sec (x) + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 11.3

Divide $6$ por $1$ .

$6 \sec (x) + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 11.4

Separa las fracciones.

$6 \sec (x) + \frac{6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 11.5

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$6 \sec (x) + \frac{6}{1} \cdot \tan (x) - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 11.6

Divide $6$ por $1$ .

$6 \sec (x) + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 12

Separa las fracciones.

$6 \sec (x) + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 13

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$6 \sec (x) + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 14

Divide $0$ por $1$ .

$6 \sec (x) + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = 0 \sec (x)$

Paso 15

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$6 \sec (x) + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = 0$

Paso 16

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 16.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$6 \frac{1}{\cos (x)} + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = 0$

Paso 16.1.2

Combina $6$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{6}{\cos (x)} + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = 0$

Paso 16.1.3

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{6}{\cos (x)} + 6 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = 0$

Paso 16.1.4

Combina $6$ y $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = 0$

Paso 17

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 18

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \frac{6}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 19

Simplifica.

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Paso 19.1

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 19.1.1

Cancela el factor común.

$\cos (x) \frac{6}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 19.1.2

Reescribe la expresión.

$6 + \cos (x) \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 19.2

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 19.2.1

Cancela el factor común.

$6 + \cos (x) \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 19.2.2

Reescribe la expresión.

$6 + 6 \sin (x) + \cos (x) (- 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 19.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 + 6 \sin (x) - 4 \cos (x) \cos (x) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 20

Multiplica $- 4 \cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 20.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$6 + 6 \sin (x) - 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 20.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$6 + 6 \sin (x) - 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 20.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 + 6 \sin (x) - 4 {\cos (x)}^{1 + 1} = \cos (x) \cdot 0$

Paso 20.4

Suma $1$ y $1$ .

$6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = \cos (x) \cdot 0$

Paso 21

Multiplica $\cos (x)$ por $0$ .

$6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 22

Reemplaza $- 4 \cos^{2} (x)$ con $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$6 + 6 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 23

Simplifica cada término.

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Paso 23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 + 6 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 23.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$6 + 6 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 23.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$6 + 6 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 24

Resta $4$ de $6$ .

$6 \sin (x) + 2 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 25

Reordena el polinomio.

$4 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) + 2 = 0$

Paso 26

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 6 (u) + 2 = 0$

Paso 27

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 27.1

Factoriza $2$ de $4 u^{2} + 6 u + 2$ .

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Paso 27.1.1

Factoriza $2$ de $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 6 u + 2 = 0$

Paso 27.1.2

Factoriza $2$ de $6 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 = 0$

Paso 27.1.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 (1) = 0$

Paso 27.1.4

Factoriza $2$ de $2 (2 u^{2}) + 2 (3 u)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (1) = 0$

Paso 27.1.5

Factoriza $2$ de $2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (1)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u + 1) = 0$

Paso 27.2

Factoriza.

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Paso 27.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 27.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 27.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 u$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u + 1) = 0$

Paso 27.2.1.1.2

Reescribe $3$ como $1$ más $2$

$2 (2 u^{2} + (1 + 2) u + 1) = 0$

Paso 27.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 u^{2} + 1 u + 2 u + 1) = 0$

Paso 27.2.1.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$2 (2 u^{2} + u + 2 u + 1) = 0$

Paso 27.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 27.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 (2 u^{2} + u + 2 u + 1) = 0$

Paso 27.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (u (2 u + 1) + 1 (2 u + 1)) = 0$

Paso 27.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$2 ((2 u + 1) (u + 1)) = 0$

Paso 27.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (2 u + 1) (u + 1) = 0$

Paso 28

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 29

Establece $2 u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 29.1

Establece $2 u + 1$ igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Paso 29.2

Resuelve $2 u + 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 29.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u = - 1$

Paso 29.2.2

Divide cada término en $2 u = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 29.2.2.1

Divide cada término en $2 u = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 29.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 29.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 29.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 29.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Paso 29.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 29.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1}{2}$

Paso 30

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 30.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 30.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 31

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (2 u + 1) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = - \frac{1}{2}, - 1$

Paso 32

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}, - 1$

Paso 33

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Paso 34

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Paso 34.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Paso 34.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 34.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 34.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 34.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 34.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 34.4.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 34.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 34.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 34.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 34.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 34.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 34.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 34.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Paso 34.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 34.6.3

Combina fracciones.

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Paso 34.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 34.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 34.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 34.6.4.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Paso 34.6.4.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Paso 34.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 34.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 35

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - 1$ .

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Paso 35.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 35.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 35.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 35.3

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 35.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 35.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 35.4.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 35.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 35.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 35.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 35.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 35.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 35.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 35.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 35.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 35.6.3

Combina fracciones.

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Paso 35.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 35.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 35.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 35.6.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 35.6.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 35.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 35.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 36

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 37

Consolida $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ y $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$