Precálculo Ejemplos

$3 z^{\frac{14}{5}} - 19 z^{\frac{9}{5}} + 28 z^{\frac{4}{5}} = 0$

Paso 1

Factoriza $z^{\frac{4}{5}}$ de $3 z^{\frac{14}{5}} - 19 z^{\frac{9}{5}} + 28 z^{\frac{4}{5}}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $z^{\frac{4}{5}}$ de $3 z^{\frac{14}{5}}$ .

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}}) - 19 z^{\frac{9}{5}} + 28 z^{\frac{4}{5}} = 0$

Paso 1.2

Factoriza $z^{\frac{4}{5}}$ de $- 19 z^{\frac{9}{5}}$ .

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{4}{5}} (- 19 z^{\frac{5}{5}}) + 28 z^{\frac{4}{5}} = 0$

Paso 1.3

Factoriza $z^{\frac{4}{5}}$ de $28 z^{\frac{4}{5}}$ .

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{4}{5}} (- 19 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{4}{5}} \cdot 28 = 0$

Paso 1.4

Factoriza $z^{\frac{4}{5}}$ de $z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{4}{5}} (- 19 z^{\frac{5}{5}})$ .

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}} - 19 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{4}{5}} \cdot 28 = 0$

Paso 1.5

Factoriza $z^{\frac{4}{5}}$ de $z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}} - 19 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{4}{5}} \cdot 28$ .

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}} - 19 z^{\frac{5}{5}} + 28) = 0$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 28 = 84$ y cuya suma es $b = - 19$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 19$ de $- 19 z^{\frac{5}{5}}$ .

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}} - 19 z^{\frac{5}{5}} + 28) = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 19$ como $- 7$ más $- 12$

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}} + (- 7 - 12) z^{\frac{5}{5}} + 28) = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}} - 7 z^{\frac{5}{5}} - 12 z^{\frac{5}{5}} + 28) = 0$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$z^{\frac{4}{5}} ((3 z^{\frac{10}{5}} - 7 z^{\frac{5}{5}}) - 12 z^{\frac{5}{5}} + 28) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$z^{\frac{4}{5}} (z^{\frac{5}{5}} (3 z^{\frac{5}{5}} - 7) - 4 (3 z^{\frac{5}{5}} - 7)) = 0$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 z^{\frac{5}{5}} - 7$ .

$z^{\frac{4}{5}} ((3 z^{\frac{5}{5}} - 7) (z^{\frac{5}{5}} - 4)) = 0$

Paso 3

Divide $5$ por $5$ .

$z^{\frac{4}{5}} ((3 z - 7) (z^{\frac{5}{5}} - 4)) = 0$

Paso 4

Divide $5$ por $5$ .

$z^{\frac{4}{5}} ((3 z - 7) (z - 4)) = 0$

Paso 5

Elimina los paréntesis innecesarios.

$z^{\frac{4}{5}} (3 z - 7) (z - 4) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$z^{\frac{4}{5}} = 0$

$3 z - 7 = 0$

$z - 4 = 0$

Paso 7

Establece $z^{\frac{4}{5}}$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 7.1

Establece $z^{\frac{4}{5}}$ igual a $0$ .

$z^{\frac{4}{5}} = 0$

Paso 7.2

Resuelve $z^{\frac{4}{5}} = 0$ en $z$ .

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Paso 7.2.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{5}{4}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(z^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el exponente.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1.1

Simplifica ${(z^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(z^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Paso 7.2.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$z^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Paso 7.2.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Paso 7.2.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Paso 7.2.2.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$z^{1} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Paso 7.2.2.1.1.2

Simplifica.

$z = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.2.1

Simplifica $\pm 0^{\frac{5}{4}}$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.2.1.1.1

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$z = \pm {(0^{4})}^{\frac{5}{4}}$

Paso 7.2.2.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm 0^{4 (\frac{5}{4})}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$z = \pm 0^{4 (\frac{5}{4})}$

Paso 7.2.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$z = \pm 0^{5}$

Paso 7.2.2.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$z = \pm 0$

Paso 7.2.2.2.1.4

Más o menos $0$ es $0$ .

$z = 0$

Paso 8

Establece $3 z - 7$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 8.1

Establece $3 z - 7$ igual a $0$ .

$3 z - 7 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $3 z - 7 = 0$ en $z$ .

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Paso 8.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$3 z = 7$

Paso 8.2.2

Divide cada término en $3 z = 7$ por $3$ y simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Divide cada término en $3 z = 7$ por $3$ .

$\frac{3 z}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 z}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 8.2.2.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{7}{3}$

Paso 9

Establece $z - 4$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 9.1

Establece $z - 4$ igual a $0$ .

$z - 4 = 0$

Paso 9.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$z = 4$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $z^{\frac{4}{5}} (3 z - 7) (z - 4) = 0$ verdadera.

$z = 0, \frac{7}{3}, 4$