Precálculo Ejemplos

$3 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{\frac{2}{3}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} + 4 x^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{\frac{1}{3}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$3 u^{2} + 4 u - 4 = 0$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $4$ de $4 u$ .

$3 u^{2} + 4 (u) - 4 = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $4$ como $- 2$ más $6$

$3 u^{2} + (- 2 + 6) u - 4 = 0$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 u^{2} - 2 u + 6 u - 4 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 u^{2} - 2 u) + 6 u - 4 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (3 u - 2) + 2 (3 u - 2) = 0$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u - 2$ .

$(3 u - 2) (u + 2) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(3 x^{\frac{1}{3}} - 2) (x^{\frac{1}{3}} + 2) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Paso 6

Establece $3 x^{\frac{1}{3}} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $3 x^{\frac{1}{3}} - 2$ igual a $0$ .

$3 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $3 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Paso 6.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Paso 6.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.3.1.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.2.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Paso 6.2.3.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Paso 6.2.3.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.2.3.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Paso 6.2.3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.3.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Paso 6.2.3.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 x^{1} = 2^{3}$

Paso 6.2.3.1.1.4

Simplifica.

$27 x = 2^{3}$

Paso 6.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$27 x = 8$

Paso 6.2.4

Divide cada término en $27 x = 8$ por $27$ y simplifica.

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Paso 6.2.4.1

Divide cada término en $27 x = 8$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{8}{27}$

Paso 6.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.4.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 6.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x}{27} = \frac{8}{27}$

Paso 6.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{27}$

Paso 7

Establece $x^{\frac{1}{3}} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x^{\frac{1}{3}} + 2$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{3}} = - 2$

Paso 7.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Paso 7.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 2)}^{3}$

Paso 7.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 2)}^{3}$

Paso 7.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$x = - 8$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x^{\frac{1}{3}} - 2) (x^{\frac{1}{3}} + 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{8}{27}, - 8$