Precálculo Ejemplos

$2 y^{2} - y - \frac{1}{2} = 0$

Paso 1

Para escribir $2 y^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- y + 2 y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Paso 2

Combina $2 y^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Paso 3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2} = 0$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- y + \frac{4 y^{2} - 1}{2} = 0$

Paso 4.2

Reescribe $4 y^{2}$ como ${(2 y)}^{2}$ .

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1}{2} = 0$

Paso 4.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1^{2}}{2} = 0$

Paso 4.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 y$ y $b = 1$ .

$- y + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Paso 5

Para escribir $- y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- y \cdot \frac{2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Paso 6

Combina $- y$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- y \cdot 2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- y \cdot 2 + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 y + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Paso 8.2

Expande $(2 y + 1) (2 y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

Paso 8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

Paso 8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Paso 8.3

Combina los términos opuestos en $2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1$ .

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Paso 8.3.1

Reordena los factores en los términos $2 y \cdot - 1$ y $1 (2 y)$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) - 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Paso 8.3.2

Suma $- 1 \cdot 2 y$ y $1 \cdot 2 y$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 0 + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Paso 8.3.3

Suma $2 y (2 y)$ y $0$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Paso 8.4

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Paso 8.4.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Paso 8.4.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Paso 8.4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Paso 8.4.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} - 1}{2} = 0$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{4 y^{2} - 2 y - 1}{2} = 0$

Paso 9

Establece el numerador igual a cero.

$4 y^{2} - 2 y - 1 = 0$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 10.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 10.2

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = - 2$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Paso 10.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.3.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.3.1.3

Suma $4$ y $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.3.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 10.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Paso 10.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Paso 10.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 10.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Paso 10.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.4.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.4.1.3

Suma $4$ y $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.4.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 10.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Paso 10.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Paso 10.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Paso 10.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 10.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Paso 10.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.5.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.5.1.3

Suma $4$ y $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.5.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 10.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Paso 10.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Paso 10.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Paso 10.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Paso 10.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Forma decimal:

$y = 0.80901699 \dots, - 0.30901699 \dots$