Precálculo Ejemplos

$y^{\frac{9}{2}} - 10 y^{\frac{7}{2}} + 21 y^{\frac{5}{2}} = 0$

Paso 1

Factoriza $y^{\frac{5}{2}}$ de $y^{\frac{9}{2}} - 10 y^{\frac{7}{2}} + 21 y^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y^{\frac{5}{2}}$ de $y^{\frac{9}{2}}$ .

$y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{7}{2}} + 21 y^{\frac{5}{2}} = 0$

Paso 1.2

Factoriza $y^{\frac{5}{2}}$ de $- 10 y^{\frac{7}{2}}$ .

$y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} + y^{\frac{5}{2}} (- 10 y^{\frac{2}{2}}) + 21 y^{\frac{5}{2}} = 0$

Paso 1.3

Factoriza $y^{\frac{5}{2}}$ de $21 y^{\frac{5}{2}}$ .

$y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} + y^{\frac{5}{2}} (- 10 y^{\frac{2}{2}}) + y^{\frac{5}{2}} \cdot 21 = 0$

Paso 1.4

Factoriza $y^{\frac{5}{2}}$ de $y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} + y^{\frac{5}{2}} (- 10 y^{\frac{2}{2}})$ .

$y^{\frac{5}{2}} (y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}}) + y^{\frac{5}{2}} \cdot 21 = 0$

Paso 1.5

Factoriza $y^{\frac{5}{2}}$ de $y^{\frac{5}{2}} (y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}}) + y^{\frac{5}{2}} \cdot 21$ .

$y^{\frac{5}{2}} (y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}} + 21) = 0$

Paso 2

Factoriza $y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}} + 21$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $21$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 7, - 3$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$y^{\frac{5}{2}} ((y^{\frac{2}{2}} - 7) (y^{\frac{2}{2}} - 3)) = 0$

Paso 3

Divide $2$ por $2$ .

$y^{\frac{5}{2}} ((y - 7) (y^{\frac{2}{2}} - 3)) = 0$

Paso 4

Divide $2$ por $2$ .

$y^{\frac{5}{2}} ((y - 7) (y - 3)) = 0$

Paso 5

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y^{\frac{5}{2}} (y - 7) (y - 3) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y^{\frac{5}{2}} = 0$

$y - 7 = 0$

$y - 3 = 0$

Paso 7

Establece $y^{\frac{5}{2}}$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 7.1

Establece $y^{\frac{5}{2}}$ igual a $0$ .

$y^{\frac{5}{2}} = 0$

Paso 7.2

Resuelve $y^{\frac{5}{2}} = 0$ en $y$ .

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Paso 7.2.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{2}{5}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 0^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el exponente.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 0^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.2.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 0^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.2.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.2.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.2.2.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = 0^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.2.2.1.1.2

Simplifica.

$y = 0^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.2.1

Simplifica $0^{\frac{2}{5}}$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.2.1.1.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$y = {(0^{5})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.2.2.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0^{5 (\frac{2}{5})}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.2.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = 0^{5 (\frac{2}{5})}$

Paso 7.2.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = 0^{2}$

Paso 7.2.2.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0$

Paso 8

Establece $y - 7$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 8.1

Establece $y - 7$ igual a $0$ .

$y - 7 = 0$

Paso 8.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 7$

Paso 9

Establece $y - 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 9.1

Establece $y - 3$ igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

Paso 9.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 3$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $y^{\frac{5}{2}} (y - 7) (y - 3) = 0$ verdadera.

$y = 0, 7, 3$