Precálculo Ejemplos

$x^{4} - 20 x^{2} + 19 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 19 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$u^{2} - 20 u + 19 = 0$

Paso 3

Factoriza $u^{2} - 20 u + 19$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $19$ y cuya suma es $- 20$ .

$- 19, - 1$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 19) (u - 1) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(x^{2} - 19) (x^{2} - 1) = 0$

Paso 5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{2} - 19) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 6

Factoriza.

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Paso 6.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x^{2} - 19) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} - 19) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 19 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 8

Establece $x^{2} - 19$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x^{2} - 19$ igual a $0$ .

$x^{2} - 19 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $x^{2} - 19 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Suma $19$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 19$

Paso 8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{19}$

Paso 8.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 8.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{19}$

Paso 8.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{19}$

Paso 8.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{19}, - \sqrt{19}$

Paso 9

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 9.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 10

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 10.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 19) (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{19}, - \sqrt{19}, - 1, 1$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \sqrt{19}, - \sqrt{19}, - 1, 1$

Forma decimal:

$x = 4.35889894 \dots, - 4.35889894 \dots, - 1, 1$