Precálculo Ejemplos

$x^{8} - 32 x^{4} + 256 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

${(x^{4})}^{2} - 32 x^{4} + 256 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{4}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{4}$ .

$u^{2} - 32 u + 256 = 0$

Paso 3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1

Reescribe $256$ como $16^{2}$ .

$u^{2} - 32 u + 16^{2} = 0$

Paso 3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$32 u = 2 \cdot u \cdot 16$

Paso 3.3

Reescribe el polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 16 + 16^{2} = 0$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 16$ .

${(u - 16)}^{2} = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Paso 5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Paso 6

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Paso 7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Paso 8.2

Factoriza.

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Paso 8.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Paso 8.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Paso 9

Aplica la regla del producto a $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 10

Aplica la regla del producto a $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 12

Establece ${(x^{2} + 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece ${(x^{2} + 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Paso 12.2

Resuelve ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.1

Establece $x^{2} + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Paso 12.2.2

Resuelve $x$

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Paso 12.2.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 4$

Paso 12.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Paso 12.2.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Paso 12.2.2.3.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Paso 12.2.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Paso 12.2.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Paso 12.2.2.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Paso 12.2.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Paso 12.2.2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Paso 12.2.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 12.2.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i$

Paso 12.2.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i$

Paso 12.2.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i, - 2 i$

Paso 13

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 13.2

Resuelve ${(x + 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 13.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 13.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 14

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 14.2

Resuelve ${(x - 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 14.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 14.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 15

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$