Precálculo Ejemplos

$x^{6} - 6 x^{3} - 7 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - 6 x^{3} - 7 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{3}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{3}$ .

$u^{2} - 6 u - 7 = 0$

Paso 3

Factoriza $u^{2} - 6 u - 7$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 7, 1$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 7) (u + 1) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$(x^{3} - 7) (x^{3} + 1) = 0$

Paso 5

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$(x^{3} - 7) (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Paso 6

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x^{3} - 7) ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Paso 7

Factoriza.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(x^{3} - 7) ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Paso 7.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x^{3} - 7) ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Paso 7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{3} - 7) (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{3} - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Paso 9

Establece $x^{3} - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $x^{3} - 7$ igual a $0$ .

$x^{3} - 7 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x^{3} - 7 = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 7$

Paso 9.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{7}$

Paso 10

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 10.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 11

Establece $x^{2} - x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x^{2} - x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x^{2} - x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 11.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.3

Simplifica.

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Paso 11.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 11.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 11.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 11.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 11.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 11.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 11.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 11.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 11.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.5.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.5.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 11.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 11.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{3} - 7) (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt[3]{7}, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$