Precálculo Ejemplos

${(4^{x})}^{2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Multiplica los exponentes en ${(4^{x})}^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{x \cdot 2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Paso 1.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$4^{2 x} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe $4^{2 x}$ como ${(4^{x})}^{2}$ .

${(4^{x})}^{2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Paso 2.2

Sea $u = 4^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $4^{x}$ .

$u^{2} - 65 u + 64 = 0$

Paso 2.3

Factoriza $u^{2} - 65 u + 64$ con el método AC.

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Paso 2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $64$ y cuya suma es $- 65$ .

$- 64, - 1$

Paso 2.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 64) (u - 1) = 0$

Paso 2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4^{x}$ .

$(4^{x} - 64) (4^{x} - 1) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

$4^{x} - 1 = 0$

Paso 4

Establece $4^{x} - 64$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $4^{x} - 64$ igual a $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $4^{x} - 64 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $64$ a ambos lados de la ecuación.

$4^{x} = 64$

Paso 4.2.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$4^{x} = 4^{3}$

Paso 4.2.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 3$

Paso 5

Establece $4^{x} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $4^{x} - 1$ igual a $0$ .

$4^{x} - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $4^{x} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4^{x} = 1$

Paso 5.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4^{x}) = \ln (1)$

Paso 5.2.3

Expande $\ln (4^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (4) = \ln (1)$

Paso 5.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x \ln (4) = 0$

Paso 5.2.5

Divide cada término en $x \ln (4) = 0$ por $\ln (4)$ y simplifica.

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Paso 5.2.5.1

Divide cada término en $x \ln (4) = 0$ por $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Paso 5.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 5.2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Paso 5.2.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (4)}$

Paso 5.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.5.3.1

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$x = \frac{0}{\ln (2^{2})}$

Paso 5.2.5.3.2

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$x = \frac{0}{2 \ln (2)}$

Paso 5.2.5.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 5.2.5.3.3.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 \ln (2)}$

Paso 5.2.5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 \ln (2)$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 (\ln (2))}$

Paso 5.2.5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 0}{2 \ln (2)}$

Paso 5.2.5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{0}{\ln (2)}$

Paso 5.2.5.3.4

Divide $0$ por $\ln (2)$ .

$x = 0$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4^{x} - 64) (4^{x} - 1) = 0$ verdadera.

$x = 3, 0$