Precálculo Ejemplos

$9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9}, \pm 6, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm \frac{8}{9}, \pm 12, \pm 24$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$9 {(- 2)}^{4} - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$9 \cdot 16 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Paso 4.1.2

Multiplica $9$ por $16$ .

$144 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Paso 4.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$144 - 9 \cdot - 8 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 9$ por $- 8$ .

$144 + 72 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Paso 4.1.5

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$144 + 72 - 58 \cdot 4 + 4 (- 2) + 24$

Paso 4.1.6

Multiplica $- 58$ por $4$ .

$144 + 72 - 232 + 4 (- 2) + 24$

Paso 4.1.7

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$144 + 72 - 232 - 8 + 24$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $144$ y $72$ .

$216 - 232 - 8 + 24$

Paso 4.2.2

Resta $232$ de $216$ .

$- 16 - 8 + 24$

Paso 4.2.3

Resta $8$ de $- 16$ .

$- 24 + 24$

Paso 4.2.4

Suma $- 24$ y $24$ .

$0$

Paso 5

Como $- 2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24}{x + 2}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(9)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

	$9$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(9)$ por el divisor $(- 2)$ y coloca el resultado de $(- 18)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 9)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$	$- 27$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 27)$ por el divisor $(- 2)$ y coloca el resultado de $(54)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 58)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$	$- 4$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(- 2)$ y coloca el resultado de $(8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(4)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(12)$ por el divisor $(- 2)$ y coloca el resultado de $(- 24)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(24)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$9 x^{3} + - 27 x^{2} + (- 4) x + 12$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$9 x^{3} - 27 x^{2} - 4 x + 12$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 2) (9 x^{3} - 27 x^{2}) - 4 x + 12$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 2) + 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

$(x + 2) \cdot 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 3$ .

$(x + 2) (x - 3) (9 x^{2} - 4)$

Paso 9

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 4)$

Paso 10

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 2^{2})$

Paso 11

Factoriza.

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Paso 11.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 2$ .

$(x + 2) + (x - 3) ((3 x + 2) (3 x - 2))$

Paso 11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 2) + (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

$(x + 2) (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

Paso 12

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 12.1

Reagrupa los términos.

$- 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 12.2

Factoriza $- x$ de $- 9 x^{3} + 4 x$ .

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Paso 12.2.1

Factoriza $- x$ de $- 9 x^{3}$ .

$- x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 12.2.2

Factoriza $- x$ de $4 x$ .

$- x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 12.2.3

Factoriza $- x$ de $- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ .

$- x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 12.3

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 12.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 12.5

Factoriza.

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Paso 12.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 2$ .

$- x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 12.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 12.6

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 12.7

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Paso 12.8

Factoriza por agrupación.

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Paso 12.8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ y cuya suma es $b = - 58$ .

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Paso 12.8.1.1

Factoriza $- 58$ de $- 58 u$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Paso 12.8.1.2

Reescribe $- 58$ como $- 4$ más $- 54$

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24 = 0$

Paso 12.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Paso 12.8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 12.8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Paso 12.8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4) = 0$

Paso 12.8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 u - 4$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6) = 0$

Paso 12.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Paso 12.10

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Paso 12.11

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Paso 12.12

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 2$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Paso 12.13

Factoriza $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

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Paso 12.13.1

Factoriza $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Paso 12.13.2

Factoriza $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6) = 0$

Paso 12.14

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6) = 0$

Paso 12.15

Factoriza $- u + u^{2} - 6$ con el método AC.

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Paso 12.15.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 12.15.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

Paso 12.16

Factoriza.

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Paso 12.16.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Paso 12.16.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Paso 13

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 14

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Paso 14.2

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 14.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 14.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 14.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 14.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 14.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 14.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 15

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 15.1

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Paso 15.2

Resuelve $3 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 15.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 15.2.2

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 15.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 15.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 15.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 15.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 15.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 16

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 16.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 16.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 17

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 17.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 17.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 18

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 3, - 2$

Paso 19