Precálculo Ejemplos

$6 x^{2} - 7 x - 20$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 10, \pm \frac{10}{3}, \pm 20, \pm \frac{20}{3}$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$6 {(\frac{5}{2})}^{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = \frac{5}{2}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$6 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Paso 4.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$6 \frac{25}{2^{2}} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$6 (\frac{25}{4}) - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{25}{4} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Paso 4.1.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Paso 4.1.4.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Paso 4.1.4.4

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{25}{2}) - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Paso 4.1.5

Combina $3$ y $\frac{25}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 25}{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Paso 4.1.6

Multiplica $3$ por $25$ .

$\frac{75}{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Paso 4.1.7

Multiplica $- 7 (\frac{5}{2})$ .

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Paso 4.1.7.1

Combina $- 7$ y $\frac{5}{2}$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 7 \cdot 5}{2} - 20$

Paso 4.1.7.2

Multiplica $- 7$ por $5$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 35}{2} - 20$

Paso 4.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{75}{2} - \frac{35}{2} - 20$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 20 + \frac{75 - 35}{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Resta $35$ de $75$ .

$- 20 + \frac{40}{2}$

Paso 4.2.2.2

Divide $40$ por $2$ .

$- 20 + 20$

Paso 4.2.2.3

Suma $- 20$ y $20$ .

$0$

Paso 5

Como $\frac{5}{2}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - \frac{5}{2}$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{6 x^{2} - 7 x - 20}{x - \frac{5}{2}}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(6)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$

	$6$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(6)$ por el divisor $(\frac{5}{2})$ y coloca el resultado de $(15)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 7)$ .

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$
	$6$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$
	$6$	$8$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(8)$ por el divisor $(\frac{5}{2})$ y coloca el resultado de $(20)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 20)$ .

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$	$20$
	$6$	$8$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$	$20$
	$6$	$8$	$0$

Paso 6.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(6) x + 8$

Paso 6.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$6 x + 8$

Paso 7

Factoriza $2$ de $6 x + 8$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x) + 8)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x) + 2 (4))$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x) + 2 (4)$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x + 4))$

Paso 8

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot - 20 = - 120$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 x$ .

$6 x^{2} - 7 x - 20 = 0$

Paso 8.1.2

Reescribe $- 7$ como $8$ más $- 15$

$6 x^{2} + (8 - 15) x - 20 = 0$

Paso 8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} + 8 x - 15 x - 20 = 0$

Paso 8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(6 x^{2} + 8 x) - 15 x - 20 = 0$

Paso 8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 x (3 x + 4) - 5 (3 x + 4) = 0$

Paso 8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (2 x - 5) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Paso 10

Establece $3 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $3 x + 4$ igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $3 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 4$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 10.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Paso 10.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4}{3}$

Paso 11

Establece $2 x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $2 x - 5$ igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $2 x - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 5$

Paso 11.2.2

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 11.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 11.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 11.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 4) (2 x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{4}{3}, \frac{5}{2}$

Paso 13