Precálculo Ejemplos

$9 x^{5} - 27 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2} + x - 3$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 3$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$9 {(1)}^{5} - 27 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Elimina los paréntesis.

$9 {(1)}^{5} - 27 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$9 \cdot 1 - 27 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Paso 4.2.2

Multiplica $9$ por $1$ .

$9 - 27 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Paso 4.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$9 - 27 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Paso 4.2.4

Multiplica $- 27$ por $1$ .

$9 - 27 - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Paso 4.2.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$9 - 27 - 10 \cdot 1 + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Paso 4.2.6

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$9 - 27 - 10 + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Paso 4.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$9 - 27 - 10 + 30 \cdot 1 + 1 - 3$

Paso 4.2.8

Multiplica $30$ por $1$ .

$9 - 27 - 10 + 30 + 1 - 3$

$9 - 27 - 10 + 30 + 1 - 3$

Paso 4.3

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.3.1

Resta $27$ de $9$ .

$- 18 - 10 + 30 + 1 - 3$

Paso 4.3.2

Resta $10$ de $- 18$ .

$- 28 + 30 + 1 - 3$

Paso 4.3.3

Suma $- 28$ y $30$ .

$2 + 1 - 3$

Paso 4.3.4

Suma $2$ y $1$ .

$3 - 3$

Paso 4.3.5

Resta $3$ de $3$ .

$0$

$0$

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{9 x^{5} - 27 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2} + x - 3}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(9)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$

	$9$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(9)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(9)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 27)$ .

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$
	$9$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$
	$9$	$- 18$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 18)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 18)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 10)$ .

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$
	$9$	$- 18$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$
	$9$	$- 18$	$- 28$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 28)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 28)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(30)$ .

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$
	$9$	$- 18$	$- 28$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$
	$9$	$- 18$	$- 28$	$2$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(1)$ .

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$	$2$
	$9$	$- 18$	$- 28$	$2$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$	$2$
	$9$	$- 18$	$- 28$	$2$	$3$

Paso 6.11

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 3)$ .

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$	$2$	$3$
	$9$	$- 18$	$- 28$	$2$	$3$

Paso 6.12

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$	$2$	$3$
	$9$	$- 18$	$- 28$	$2$	$3$	$0$

Paso 6.13

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$9 x^{4} + - 18 x^{3} - 28 x^{2} + 2 x + 3$

Paso 6.14

Simplifica el polinomio del cociente.

$9 x^{4} - 18 x^{3} - 28 x^{2} + 2 x + 3$

$9 x^{4} - 18 x^{3} - 28 x^{2} + 2 x + 3$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Reagrupa los términos.

$- 18 x^{3} + 2 x + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza $- 2 x$ de $- 18 x^{3} + 2 x$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $- 2 x$ de $- 18 x^{3}$ .

$- 2 x (9 x^{2}) + 2 x + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Paso 7.1.2.2

Factoriza $- 2 x$ de $2 x$ .

$- 2 x (9 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Paso 7.1.2.3

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x (9 x^{2}) - 2 x (- 1)$ .

$- 2 x (9 x^{2} - 1) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

$- 2 x (9 x^{2} - 1) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Paso 7.1.3

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$- 2 x ({(3 x)}^{2} - 1) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Paso 7.1.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 2 x ({(3 x)}^{2} - 1^{2}) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Paso 7.1.5

Factoriza.

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Paso 7.1.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 1$ .

$- 2 x ((3 x + 1) (3 x - 1)) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Paso 7.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Paso 7.1.6

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 {(x^{2})}^{2} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Paso 7.1.7

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Paso 7.1.8

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1.8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ y cuya suma es $b = - 28$ .

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Paso 7.1.8.1.1

Factoriza $- 28$ de $- 28 u$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Paso 7.1.8.1.2

Reescribe $- 28$ como $- 1$ más $- 27$

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} + (- 1 - 27) u + 3 = 0$

Paso 7.1.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

Paso 7.1.8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1.8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

Paso 7.1.8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + u (9 u - 1) - 3 (9 u - 1) = 0$

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + u (9 u - 1) - 3 (9 u - 1) = 0$

Paso 7.1.8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 u - 1$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + (9 u - 1) (u - 3) = 0$

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + (9 u - 1) (u - 3) = 0$

Paso 7.1.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + (9 x^{2} - 1) (x^{2} - 3) = 0$

Paso 7.1.10

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + ({(3 x)}^{2} - 1) (x^{2} - 3) = 0$

Paso 7.1.11

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + ({(3 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} - 3) = 0$

Paso 7.1.12

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 1$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + (3 x + 1) (3 x - 1) (x^{2} - 3) = 0$

Paso 7.1.13

Factoriza $(3 x + 1) (3 x - 1)$ de $- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + (3 x + 1) (3 x - 1) (x^{2} - 3)$ .

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Paso 7.1.13.1

Factoriza $(3 x + 1) (3 x - 1)$ de $- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1)$ .

$(3 x + 1) (3 x - 1) (- 2 x) + (3 x + 1) (3 x - 1) (x^{2} - 3) = 0$

Paso 7.1.13.2

Factoriza $(3 x + 1) (3 x - 1)$ de $(3 x + 1) (3 x - 1) (- 2 x) + (3 x + 1) (3 x - 1) (x^{2} - 3)$ .

$(3 x + 1) (3 x - 1) (- 2 x + x^{2} - 3) = 0$

$(3 x + 1) (3 x - 1) (- 2 x + x^{2} - 3) = 0$

Paso 7.1.14

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(3 x + 1) (3 x - 1) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

Paso 7.1.15

Factoriza $- 2 u + u^{2} - 3$ con el método AC.

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Paso 7.1.15.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 7.1.15.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(3 x + 1) (3 x - 1) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

$(3 x + 1) (3 x - 1) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Paso 7.1.16

Factoriza.

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Paso 7.1.16.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(3 x + 1) (3 x - 1) ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Paso 7.1.16.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(3 x + 1) (3 x - 1) (x - 3) (x + 1) = 0$

$(3 x + 1) (3 x - 1) (x - 3) (x + 1) = 0$

$(3 x + 1) (3 x - 1) (x - 3) (x + 1) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 7.3

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.1

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Paso 7.3.2

Resuelve $3 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 1$

Paso 7.3.2.2

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.3.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 7.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 7.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

$x = \frac{- 1}{3}$

$x = \frac{- 1}{3}$

Paso 7.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{3}$

$x = - \frac{1}{3}$

$x = - \frac{1}{3}$

$x = - \frac{1}{3}$

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 7.4

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.4.1

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Paso 7.4.2

Resuelve $3 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Paso 7.4.2.2

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 7.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 7.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

Paso 7.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 7.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

$x = 3$

Paso 7.6

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.6.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 7.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

$x = - 1$

Paso 7.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 1) (3 x - 1) (x - 3) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 3, - 1$

$x = - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 3, - 1$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x - 1) (x + \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3}) (x - 3) (x + 1)$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $9 x^{5} - 27 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2} + x - 3$ .

$x = 1, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 3, - 1$

Paso 10

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$