Precálculo Ejemplos

$3 x^{4} - 11 x^{3} - x^{2} + 19 x + 6$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 6$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$3 {(- 1)}^{4} - 11 {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 19 (- 1) + 6$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$3 \cdot 1 - 11 {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 19 (- 1) + 6$

Paso 4.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 - 11 {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 19 (- 1) + 6$

Paso 4.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$3 - 11 \cdot - 1 - {(- 1)}^{2} + 19 (- 1) + 6$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 11$ por $- 1$ .

$3 + 11 - {(- 1)}^{2} + 19 (- 1) + 6$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$3 + 11 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} + 19 (- 1) + 6$

Paso 4.1.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 + 11 + {(- 1)}^{1 + 2} + 19 (- 1) + 6$

Paso 4.1.5.2

Suma $1$ y $2$ .

$3 + 11 + {(- 1)}^{3} + 19 (- 1) + 6$

Paso 4.1.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$3 + 11 - 1 + 19 (- 1) + 6$

Paso 4.1.7

Multiplica $19$ por $- 1$ .

$3 + 11 - 1 - 19 + 6$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $3$ y $11$ .

$14 - 1 - 19 + 6$

Paso 4.2.2

Resta $1$ de $14$ .

$13 - 19 + 6$

Paso 4.2.3

Resta $19$ de $13$ .

$- 6 + 6$

Paso 4.2.4

Suma $- 6$ y $6$ .

$0$

Paso 5

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{3 x^{4} - 11 x^{3} - x^{2} + 19 x + 6}{x + 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 1$	$3$	$- 11$	$- 1$	$19$	$6$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 1$	$3$	$- 11$	$- 1$	$19$	$6$

	$3$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 11)$ .

$- 1$	$3$	$- 11$	$- 1$	$19$	$6$
		$- 3$
	$3$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$3$	$- 11$	$- 1$	$19$	$6$
		$- 3$
	$3$	$- 14$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 14)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(14)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- 1$	$3$	$- 11$	$- 1$	$19$	$6$
		$- 3$	$14$
	$3$	$- 14$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$3$	$- 11$	$- 1$	$19$	$6$
		$- 3$	$14$
	$3$	$- 14$	$13$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(13)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 13)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(19)$ .

$- 1$	$3$	$- 11$	$- 1$	$19$	$6$
		$- 3$	$14$	$- 13$
	$3$	$- 14$	$13$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$3$	$- 11$	$- 1$	$19$	$6$
		$- 3$	$14$	$- 13$
	$3$	$- 14$	$13$	$6$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(6)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$- 1$	$3$	$- 11$	$- 1$	$19$	$6$
		$- 3$	$14$	$- 13$	$- 6$
	$3$	$- 14$	$13$	$6$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$3$	$- 11$	$- 1$	$19$	$6$
		$- 3$	$14$	$- 13$	$- 6$
	$3$	$- 14$	$13$	$6$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$3 x^{3} + - 14 x^{2} + (13) x + 6$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x^{3} - 14 x^{2} + 13 x + 6$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Factoriza $3 x^{3} - 14 x^{2} + 13 x + 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 7.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 7.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

Paso 7.1.1.3

Sustituye $- 0.\overline{3}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.\overline{3}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 7.1.1.3.1

Sustituye $- 0.\overline{3}$ en el polinomio.

$3 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 14 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Paso 7.1.1.3.2

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{037} - 14 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Paso 7.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{1} - 14 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Paso 7.1.1.3.4

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$- 0.\overline{1} - 14 \cdot 0.\overline{1} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Paso 7.1.1.3.5

Multiplica $- 14$ por $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{1} - 1.\overline{5} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Paso 7.1.1.3.6

Resta $1.\overline{5}$ de $- 0.\overline{1}$ .

$- 1.\overline{6} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Paso 7.1.1.3.7

Multiplica $13$ por $- 0.\overline{3}$ .

$- 1.\overline{6} - 4.33333333 + 6$

Paso 7.1.1.3.8

Resta $4.33333333$ de $- 1.\overline{6}$ .

$- 6 + 6$

Paso 7.1.1.3.9

Suma $- 6$ y $6$ .

$0$

Paso 7.1.1.4

Como $- 0.\overline{3}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $3 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} + 13 x + 6}{3 x + 1}$

Paso 7.1.1.5

Divide $3 x^{3} - 14 x^{2} + 13 x + 6$ por $3 x + 1$ .

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Paso 7.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$14 x^{2}$

$13 x$

$6$

Paso 7.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$

Paso 7.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 7.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 7.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$15 x^{2}$

Paso 7.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$13 x$

Paso 7.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 15 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$13 x$

Paso 7.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$15 x^{2}$	-	$5 x$

Paso 7.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 15 x^{2} - 5 x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$

Paso 7.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$18 x$

Paso 7.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$18 x$	+	$6$

Paso 7.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $18 x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$18 x$	+	$6$

Paso 7.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	+	$6$

Paso 7.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $18 x + 6$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	-	$6$

Paso 7.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	-	$6$
										$0$

Paso 7.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 5 x + 6$

Paso 7.1.1.6

Escribe $3 x^{3} - 14 x^{2} + 13 x + 6$ como un conjunto de factores.

$(3 x + 1) (x^{2} - 5 x + 6) = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza $x^{2} - 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $x^{2} - 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 7.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 7.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(3 x + 1) ((x - 3) (x - 2)) = 0$

Paso 7.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(3 x + 1) (x - 3) (x - 2) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 7.3

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.1

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Paso 7.3.2

Resuelve $3 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 1$

Paso 7.3.2.2

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.3.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 7.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 7.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Paso 7.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 7.4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 7.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 7.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 1) (x - 3) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{3}, 3, 2$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x + 1) (x + \frac{1}{3}) (x - 3) (x - 2)$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $3 x^{4} - 11 x^{3} - x^{2} + 19 x + 6$ .

$x = - 1, - \frac{1}{3}, 3, 2$

Paso 10