Precálculo Ejemplos

$- 4 x^{2} + 4 x - 1$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$- 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = \frac{1}{2}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 4 \frac{1}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 4 (\frac{1}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 4.1.4.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot - 1 \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 4.1.4.3

Reescribe la expresión.

$- 1 + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 4.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 1 + 2 (2) \frac{1}{2} - 1$

Paso 4.1.5.2

Cancela el factor común.

$- 1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1$

Paso 4.1.5.3

Reescribe la expresión.

$- 1 + 2 - 1$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $- 1$ y $2$ .

$1 - 1$

Paso 4.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$0$

Paso 5

Como $\frac{1}{2}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - \frac{1}{2}$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- 4 x^{2} + 4 x - 1}{x - \frac{1}{2}}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(- 4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

	$- 4$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(- 2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(4)$ .

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$	$2$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(\frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$	$0$

Paso 6.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(- 4) x + 2$

Paso 6.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$- 4 x + 2$

Paso 7

Factoriza $2$ de $- 4 x + 2$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2 (1))$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $2 (- 2 x) + 2 (1)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x + 1))$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Factoriza $- 1$ de $- 4 x^{2} + 4 x - 1$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 4 x - 1 = 0$

Paso 8.1.2

Factoriza $- 1$ de $4 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 = 0$

Paso 8.1.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 8.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$- (4 x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 8.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ .

$- (4 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Paso 8.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 8.2.1

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1) = 0$

Paso 8.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2}) = 0$

Paso 8.2.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Paso 8.2.4

Reescribe el polinomio.

$- ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 8.2.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$

Paso 9

Divide cada término en $- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(2 x - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 9.2.2

Divide ${(2 x - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Paso 10

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 11

Resuelve $x$

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Paso 11.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 11.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 11.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 11.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 11.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 12