Precálculo Ejemplos

$4 x^{5} - 8 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + x - 2$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$4 {(1)}^{5} - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Elimina los paréntesis.

$4 {(1)}^{5} - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \cdot 1 - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Paso 4.2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Paso 4.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 - 8 \cdot 1 - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Paso 4.2.4

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$4 - 8 - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Paso 4.2.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 - 8 - 5 \cdot 1 + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Paso 4.2.6

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$4 - 8 - 5 + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Paso 4.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 - 8 - 5 + 10 \cdot 1 + 1 - 2$

Paso 4.2.8

Multiplica $10$ por $1$ .

$4 - 8 - 5 + 10 + 1 - 2$

$4 - 8 - 5 + 10 + 1 - 2$

Paso 4.3

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.3.1

Resta $8$ de $4$ .

$- 4 - 5 + 10 + 1 - 2$

Paso 4.3.2

Resta $5$ de $- 4$ .

$- 9 + 10 + 1 - 2$

Paso 4.3.3

Suma $- 9$ y $10$ .

$1 + 1 - 2$

Paso 4.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 - 2$

Paso 4.3.5

Resta $2$ de $2$ .

$0$

$0$

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{5} - 8 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + x - 2}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$

	$4$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 8)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$
	$4$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$
	$4$	$- 4$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 5)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$
	$4$	$- 4$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$
	$4$	$- 4$	$- 9$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 9)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 9)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(10)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$
	$4$	$- 4$	$- 9$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(1)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$

Paso 6.11

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 2)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$

Paso 6.12

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$	$0$

Paso 6.13

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{4} + - 4 x^{3} - 9 x^{2} + 1 x + 2$

Paso 6.14

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + x + 2$

$4 x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + x + 2$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Reagrupa los términos.

$- 4 x^{3} + x + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza $- x$ de $- 4 x^{3} + x$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $- x$ de $- 4 x^{3}$ .

$- x (4 x^{2}) + x + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Paso 7.1.2.2

Reescribe $x$ como $1 x$ .

$- x (4 x^{2}) + 1 x + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Paso 7.1.2.3

Factoriza $- x$ de $1 x$ .

$- x (4 x^{2}) - x \cdot - 1 + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Paso 7.1.2.4

Factoriza $- x$ de $- x (4 x^{2}) - x (- 1)$ .

$- x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

$- x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Paso 7.1.3

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$- x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Paso 7.1.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Paso 7.1.5

Factoriza.

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Paso 7.1.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$- x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Paso 7.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Paso 7.1.6

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Paso 7.1.7

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Paso 7.1.8

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1.8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 2 = 8$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 7.1.8.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 u$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Paso 7.1.8.1.2

Reescribe $- 9$ como $- 1$ más $- 8$

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 - 8) u + 2 = 0$

Paso 7.1.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

Paso 7.1.8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1.8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

Paso 7.1.8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) - 2 (4 u - 1) = 0$

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) - 2 (4 u - 1) = 0$

Paso 7.1.8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 1$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u - 2) = 0$

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u - 2) = 0$

Paso 7.1.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 7.1.10

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 7.1.11

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 7.1.12

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 7.1.13

Factoriza $(2 x + 1) (2 x - 1)$ de $- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2)$ .

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Paso 7.1.13.1

Factoriza $(2 x + 1) (2 x - 1)$ de $- x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 7.1.13.2

Factoriza $(2 x + 1) (2 x - 1)$ de $(2 x + 1) (2 x - 1) (- x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- x + x^{2} - 2) = 0$

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- x + x^{2} - 2) = 0$

Paso 7.1.14

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- u + u^{2} - 2) = 0$

Paso 7.1.15

Factoriza $- u + u^{2} - 2$ con el método AC.

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Paso 7.1.15.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 7.1.15.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((u - 2) (u + 1)) = 0$

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Paso 7.1.16

Factoriza.

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Paso 7.1.16.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Paso 7.1.16.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 2) (x + 1) = 0$

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 2) (x + 1) = 0$

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 2) (x + 1) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 7.3

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 7.3.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 7.3.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.3.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 7.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 7.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

$x = \frac{- 1}{2}$

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 7.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 7.4

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.4.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 7.4.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 7.4.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 7.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 7.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2}$

Paso 7.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 7.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

$x = 2$

Paso 7.6

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.6.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 7.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

$x = - 1$

Paso 7.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 2) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2, - 1$

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2, - 1$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x - 1) (x + \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{2}) (x - 2) (x + 1)$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $4 x^{5} - 8 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + x - 2$ .

$x = 1, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2, - 1$

Paso 10

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$