Precálculo Ejemplos

$| 1 - 2 x | < \frac{1}{3}$

Paso 1

Escribe $| 1 - 2 x | < \frac{1}{3}$ como una función definida por partes.

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Paso 1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$1 - 2 x \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 2 x \geq - 1$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $- 2 x \geq - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término de $- 2 x \geq - 1$ por $- 2$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{- 1}{- 2}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{- 1}{- 2}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 2}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x \leq \frac{1}{2}$

Paso 1.3

En la parte donde $1 - 2 x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$1 - 2 x < \frac{1}{3}$

Paso 1.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$1 - 2 x < 0$

Paso 1.5

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.5.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 2 x < - 1$

Paso 1.5.2

Divide cada término en $- 2 x < - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Divide cada término de $- 2 x < - 1$ por $- 2$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- 1}{- 2}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- 1}{- 2}$

Paso 1.5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{- 1}{- 2}$

Paso 1.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x > \frac{1}{2}$

Paso 1.6

En la parte donde $1 - 2 x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- (1 - 2 x) < \frac{1}{3}$

Paso 1.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} 1 - 2 x < \frac{1}{3} & x \leq \frac{1}{2} \\ - (1 - 2 x) < \frac{1}{3} & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Paso 1.8

Simplifica $- (1 - 2 x) < \frac{1}{3}$ .

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Paso 1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} 1 - 2 x < \frac{1}{3} & x \leq \frac{1}{2} \\ - 1 \cdot 1 - (- 2 x) < \frac{1}{3} & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Paso 1.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

${\begin{cases} 1 - 2 x < \frac{1}{3} & x \leq \frac{1}{2} \\ - 1 - (- 2 x) < \frac{1}{3} & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Paso 1.8.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

${\begin{cases} 1 - 2 x < \frac{1}{3} & x \leq \frac{1}{2} \\ - 1 + 2 x < \frac{1}{3} & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Paso 2

Resuelve $1 - 2 x < \frac{1}{3}$ cuando $x \leq \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.1

Resuelve $1 - 2 x < \frac{1}{3}$ en $x$ .

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Paso 2.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 2.1.1.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 2 x < \frac{1}{3} - 1$

Paso 2.1.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x < \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.1.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x < \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Paso 2.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 2 x < \frac{1 - 1 \cdot 3}{3}$

Paso 2.1.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 2 x < \frac{1 - 3}{3}$

Paso 2.1.1.5.2

Resta $3$ de $1$ .

$- 2 x < \frac{- 2}{3}$

Paso 2.1.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 x < - \frac{2}{3}$

Paso 2.1.2

Divide cada término en $- 2 x < - \frac{2}{3}$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Divide cada término de $- 2 x < - \frac{2}{3}$ por $- 2$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{2}{3}}{- 2}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{2}{3}}{- 2}$

Paso 2.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{- \frac{2}{3}}{- 2}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x > - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 2}$

Paso 2.1.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$x > \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{- 2}$

Paso 2.1.2.3.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x > \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{- 2}$

Paso 2.1.2.3.2.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x > \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.1.2.3.2.4

Cancela el factor común.

$x > \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.1.2.3.2.5

Reescribe la expresión.

$x > \frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{- 1}$

Paso 2.1.2.3.3

Multiplica $\frac{- 1}{3}$ por $\frac{1}{- 1}$ .

$x > \frac{- 1}{3 \cdot - 1}$

Paso 2.1.2.3.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x > \frac{- 1}{- 3}$

Paso 2.1.2.3.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x > \frac{1}{3}$

Paso 2.2

Obtén la intersección de $x > \frac{1}{3}$ y $x \leq \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} < x \leq \frac{1}{2}$

Paso 3

Resuelve $- 1 + 2 x < \frac{1}{3}$ cuando $x > \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.1

Resuelve $- 1 + 2 x < \frac{1}{3}$ en $x$ .

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Paso 3.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 3.1.1.1

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$2 x < \frac{1}{3} + 1$

Paso 3.1.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 x < \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Paso 3.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x < \frac{1 + 3}{3}$

Paso 3.1.1.4

Suma $1$ y $3$ .

$2 x < \frac{4}{3}$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $2 x < \frac{4}{3}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $2 x < \frac{4}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4}{3}}{2}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4}{3}}{2}$

Paso 3.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{\frac{4}{3}}{2}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x < \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x < \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$x < \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x < \frac{2}{3}$

Paso 3.2

Obtén la intersección de $x < \frac{2}{3}$ y $x > \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$

Paso 4

Obtén la unión de las soluciones.

$\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}$

Paso 5

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

Paso 6