Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42} > 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} - x - 42 = 0$

$x^{2} - 13 x + 42 = 0$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - x - 42$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 42$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 7, 6$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 7) (x + 6) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 4

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 4.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 5

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 5.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 7) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = 7, - 6$

Paso 7

Factoriza $x^{2} - 13 x + 42$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $42$ y cuya suma es $- 13$ .

$- 7, - 6$

Paso 7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 7) (x - 6) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 9

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 9.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 10

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 10.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 7) (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = 7, 6$

Paso 12

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 7, - 6$

$x = 7, 6$

Paso 13

Consolida las soluciones.

$x = 7, - 6, 7, 6$

Paso 14

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 13 x + 42 = 0$

Paso 14.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Factoriza $x^{2} - 13 x + 42$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $42$ y cuya suma es $- 13$ .

$- 7, - 6$

Paso 14.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 7) (x - 6) = 0$

Paso 14.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 14.2.3

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.3.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 14.2.3.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 14.2.4

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.4.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 14.2.4.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 14.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 7) (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = 7, 6$

Paso 14.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Paso 15

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6$

$- 6 < x < 6$

$6 < x < 7$

$x > 7$

Paso 16

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 16.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 42}{{(- 8)}^{2} - 13 \cdot - 8 + 42} > 0$

Paso 16.1.3

$0.\overline{142857}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 16.2

Prueba un valor en el intervalo $- 6 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 6 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 16.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} - (0) - 42}{{(0)}^{2} - 13 \cdot 0 + 42} > 0$

Paso 16.2.3

$- 1$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 16.3

Prueba un valor en el intervalo $6 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.3.1

Elije un valor en el intervalo $6 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6.5$

Paso 16.3.2

Reemplaza $x$ con $6.5$ en la desigualdad original.

$\frac{{(6.5)}^{2} - (6.5) - 42}{{(6.5)}^{2} - 13 \cdot 6.5 + 42} > 0$

Paso 16.3.3

$25$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 16.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 16.4.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$\frac{{(10)}^{2} - (10) - 42}{{(10)}^{2} - 13 \cdot 10 + 42} > 0$

Paso 16.4.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 16.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < 6$ Falso

$6 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Verdadero

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < 6$ Falso

$6 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Verdadero

Paso 17

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 6$ o $6 < x < 7$ o $x > 7$

Paso 18

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Paso 19