Precálculo Ejemplos

$- x^{3} - 5 x^{2} > - 8 x - 12$

Paso 1

Suma $8 x$ a ambos lados de la desigualdad.

$- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x > - 12$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x = - 12$

Paso 3

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 4.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Paso 4.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$- {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + 12$

Paso 4.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- - 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + 12$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 5 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + 12$

Paso 4.1.3.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 8 \cdot - 1 + 12$

Paso 4.1.3.5

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$1 - 5 + 8 \cdot - 1 + 12$

Paso 4.1.3.6

Resta $5$ de $1$ .

$- 4 + 8 \cdot - 1 + 12$

Paso 4.1.3.7

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$- 4 - 8 + 12$

Paso 4.1.3.8

Resta $8$ de $- 4$ .

$- 12 + 12$

Paso 4.1.3.9

Suma $- 12$ y $12$ .

$0$

Paso 4.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12}{x + 1}$

Paso 4.1.5

Divide $- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12$ por $x + 1$ .

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Paso 4.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$12$

Paso 4.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$

Paso 4.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 4.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{3} - x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 4.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Paso 4.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Paso 4.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Paso 4.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Paso 4.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{2} - 4 x$ .

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Paso 4.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$

Paso 4.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Paso 4.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $12 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Paso 4.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	+	$12$

Paso 4.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $12 x + 12$ .

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$

Paso 4.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$
										$0$

Paso 4.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- x^{2} - 4 x + 12$

Paso 4.1.6

Escribe $- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12$ como un conjunto de factores.

$(x + 1) (- x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Paso 4.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x$ .

$(x + 1) (- x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe $- 4$ como $2$ más $- 6$

$(x + 1) (- x^{2} + (2 - 6) x + 12) = 0$

Paso 4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12) = 0$

Paso 4.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 1) ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12) = 0$

Paso 4.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 1) (x (- x + 2) + 6 (- x + 2)) = 0$

Paso 4.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 2$ .

$(x + 1) ((- x + 2) (x + 6)) = 0$

Paso 4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (- x + 2) (x + 6) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$- x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 6

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 7

Establece $- x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $- x + 2$ igual a $0$ .

$- x + 2 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $- x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 8

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 8.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (- x + 2) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 2, - 6$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$- {(- 8)}^{3} - 5 {(- 8)}^{2} > - 8 \cdot - 8 - 12$

Paso 11.1.3

$192$ del lado izquierdo es mayor que $52$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 6 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 6 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$- {(- 4)}^{3} - 5 {(- 4)}^{2} > - 8 \cdot - 4 - 12$

Paso 11.2.3

$- 16$ del lado izquierdo no es mayor que $20$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} > - 8 \cdot 0 - 12$

Paso 11.3.3

$0$ del lado izquierdo es mayor que $- 12$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$- {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} > - 8 \cdot 4 - 12$

Paso 11.4.3

$- 144$ del lado izquierdo no es mayor que $- 44$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 6$ o $- 1 < x < 2$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 6) \cup (- 1, 2)$

Paso 14