Precálculo Ejemplos

$x^{4} - 45 x^{2} + 324 < 0$

Paso 1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} - 45 u + 324 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2

Factoriza $u^{2} - 45 u + 324$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $324$ y cuya suma es $- 45$ .

$- 36, - 9$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 36) (u - 9) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 36 = 0$

$u - 9 = 0$

Paso 4

Establece $u - 36$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.1

Establece $u - 36$ igual a $0$ .

$u - 36 = 0$

Paso 4.2

Suma $36$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 36$

Paso 5

Establece $u - 9$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.1

Establece $u - 9$ igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

Paso 5.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 9$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 36) (u - 9) = 0$ verdadera.

$u = 36, 9$

Paso 7

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 36$

${(x^{2})}^{1} = 9$

Paso 8

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 36$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{36}$

Paso 9.2

Simplifica $\pm \sqrt{36}$ .

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Paso 9.2.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Paso 9.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 6$

Paso 9.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 6$

Paso 9.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 6$

Paso 9.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 6, - 6$

Paso 10

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 9$

Paso 11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 9$

Paso 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Paso 11.3

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Paso 11.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Paso 11.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 11.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 11.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 11.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

Paso 12

La solución a $x^{4} - 45 x^{2} + 324 = 0$ es $x = 6, - 6, 3, - 3$ .

$x = 6, - 6, 3, - 3$

Paso 13

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 6$

$x > 6$

Paso 14

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 14.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 14.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

${(- 8)}^{4} - 45 {(- 8)}^{2} + 324 < 0$

Paso 14.1.3

$1540$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 14.2

Prueba un valor en el intervalo $- 6 < x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 6 < x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 14.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{4} - 45 {(- 4)}^{2} + 324 < 0$

Paso 14.2.3

$- 140$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 14.3

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 14.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{4} - 45 {(0)}^{2} + 324 < 0$

Paso 14.3.3

$324$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 14.4

Prueba un valor en el intervalo $3 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.4.1

Elije un valor en el intervalo $3 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 14.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{4} - 45 {(4)}^{2} + 324 < 0$

Paso 14.4.3

$- 140$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 14.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 14.5.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

${(8)}^{4} - 45 {(8)}^{2} + 324 < 0$

Paso 14.5.3

$1540$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 14.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 3$ Falso

$3 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 3$ Falso

$3 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

Paso 15

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 6 < x < - 3$ o $3 < x < 6$

Paso 16

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 6, - 3) \cup (3, 6)$

Paso 17