Precálculo Ejemplos

$x^{2} - 5 x + 6 < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 3, 2$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6 < 0$

Paso 8.1.3

$6$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2.5$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $2.5$ en la desigualdad original.

${(2.5)}^{2} - 5 \cdot 2.5 + 6 < 0$

Paso 8.2.3

$- 0.25$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

${(6)}^{2} - 5 \cdot 6 + 6 < 0$

Paso 8.3.3

$12$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$2 < x < 3$

Paso 10

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(2, 3)$

Paso 11