Precálculo Ejemplos

$x^{3} + 6 x^{2} + 9 x < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} + 6 x^{2} + 9 x = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 9 x = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $6 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (6 x) + 9 x = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $9 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (6 x)$ .

$x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9$ .

$x (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Paso 2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Paso 2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 2.2.3

Reescribe el polinomio.

$x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$x {(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve ${(x + 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 5.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x {(x + 3)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$x > 0$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{3} + 6 {(- 6)}^{2} + 9 (- 6) < 0$

Paso 8.1.3

$- 54$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

${(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 9 (- 2) < 0$

Paso 8.2.3

$- 2$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

${(2)}^{3} + 6 {(2)}^{2} + 9 (2) < 0$

Paso 8.3.3

$50$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 3$ o $- 3 < x < 0$

Paso 10

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0)$

Paso 11