Precálculo Ejemplos

$x^{2} - 12 x + 3 < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 12 x + 3 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 12$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Resta $12$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Reescribe $132$ como $2^{2} \cdot 33$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Factoriza $4$ de $132$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{33}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Resta $12$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Reescribe $132$ como $2^{2} \cdot 33$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.1

Factoriza $4$ de $132$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{33}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 6 + \sqrt{33}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3

Resta $12$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4

Reescribe $132$ como $2^{2} \cdot 33$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.4.1

Factoriza $4$ de $132$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{33}$

Paso 6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 6 - \sqrt{33}$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = 6 + \sqrt{33}, 6 - \sqrt{33}$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 6 - \sqrt{33}$

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$

$x > 6 + \sqrt{33}$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 6 - \sqrt{33}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 6 - \sqrt{33}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3 < 0$

Paso 9.1.3

$3$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

${(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 3 < 0$

Paso 9.2.3

$- 24$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 6 + \sqrt{33}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6 + \sqrt{33}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 14$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $14$ en la desigualdad original.

${(14)}^{2} - 12 \cdot 14 + 3 < 0$

Paso 9.3.3

$31$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 6 - \sqrt{33}$ Falso

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ Verdadero

$x > 6 + \sqrt{33}$ Falso

$x < 6 - \sqrt{33}$ Falso

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ Verdadero

$x > 6 + \sqrt{33}$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(6 - \sqrt{33}, 6 + \sqrt{33})$

Paso 12