Precálculo Ejemplos

$p^{2} + 2000 p - 400000 < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$p^{2} + 2000 p - 400000 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2000$ y $c = - 400000$ en la fórmula cuadrática y resuelve $p$ .

$\frac{- 2000 \pm \sqrt{2000^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 400000)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $2000$ a la potencia de $2$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 1 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 400000$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 400000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 + 1600000}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Suma $4000000$ y $1600000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{5600000}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Reescribe $5600000$ como $400^{2} \cdot 35$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $160000$ de $5600000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{160000 (35)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe $160000$ como $400^{2}$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{400^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$ .

$p = - 1000 \pm 200 \sqrt{35}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $2000$ a la potencia de $2$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 1 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 400000$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 400000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 + 1600000}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Suma $4000000$ y $1600000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{5600000}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Reescribe $5600000$ como $400^{2} \cdot 35$ .

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Paso 5.1.4.1

Factoriza $160000$ de $5600000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{160000 (35)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2

Reescribe $160000$ como $400^{2}$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{400^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$ .

$p = - 1000 \pm 200 \sqrt{35}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$p = - 1000 + 200 \sqrt{35}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $2000$ a la potencia de $2$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 1 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 400000$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 400000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 + 1600000}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3

Suma $4000000$ y $1600000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{5600000}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4

Reescribe $5600000$ como $400^{2} \cdot 35$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $160000$ de $5600000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{160000 (35)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe $160000$ como $400^{2}$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{400^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$ .

$p = - 1000 \pm 200 \sqrt{35}$

Paso 6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$p = - 1000 - 200 \sqrt{35}$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$p = - 1000 + 200 \sqrt{35}, - 1000 - 200 \sqrt{35}$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$p < - 1000 - 200 \sqrt{35}$

$- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$

$p > - 1000 + 200 \sqrt{35}$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $p < - 1000 - 200 \sqrt{35}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $p < - 1000 - 200 \sqrt{35}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$p = - 2186$

Paso 9.1.2

Reemplaza $p$ con $- 2186$ en la desigualdad original.

${(- 2186)}^{2} + 2000 (- 2186) - 400000 < 0$

Paso 9.1.3

$6596$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$p = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $p$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} + 2000 (0) - 400000 < 0$

Paso 9.2.3

$- 400000$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $p > - 1000 + 200 \sqrt{35}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $p > - 1000 + 200 \sqrt{35}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$p = 186$

Paso 9.3.2

Reemplaza $p$ con $186$ en la desigualdad original.

${(186)}^{2} + 2000 (186) - 400000 < 0$

Paso 9.3.3

$6596$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$p < - 1000 - 200 \sqrt{35}$ Falso

$- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$ Verdadero

$p > - 1000 + 200 \sqrt{35}$ Falso

$p < - 1000 - 200 \sqrt{35}$ Falso

$- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$ Verdadero

$p > - 1000 + 200 \sqrt{35}$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 1000 - 200 \sqrt{35}, - 1000 + 200 \sqrt{35})$

Paso 12